DAS GESETZ DES ORGANISCHEN WACHSTUMS

von

Anonymus*

 

Das Wachsen der Organismen, die Vermehrung der Zellen z.B. kann man sich in folgender Weise anschaulich machen. Da jeder entstandene Teil sofort wieder neue Teile erzeugen hilft, so hat dieser Vorgang die größte Ähnlichkeit mit einem sich durch Verzinsung vermehrenden Kapital, ja, der Vorgang ist derselbe, wenn man sich nur vorstellt, daß hier der Zins nicht etwa erst nach einem Vierteljahre, einem halben oder gar erst ganyen Jahe zum Kapitale geschlagen und dann erst ebenfalls zinstragend wird, sondern schon sofort nach seiner Entstehung: Das organische Wachstum ist eine Kapitalvermehrung durch Verzinsung in unendlich kleinen Terminen. Es muß sich daher auch wie eine gewöhnliche Zinseszinsrechnung zahlenmäßig ermitteln lassen.

Dies ist gar nicht schwer, und es soll darum die Art dieser Berechnung gezeigt werden. Statt mit Vierteljahren, halben oder ganzen Jahren haben wir einfach nur mit sehr kleinen Zeitterminen zu rechnen und den Zinszuwachs und das sich nach einem endlichen Zeitraum t ergebende, durch den Zinsenzuwachs vergrößernde Kapital festzustellen. Wir teilen also diesen endlichen Zeitraum t in eine sehr große Zahl n solcher sehr kleiner Zeitteilchen ein, von denen jedes die Größe t haben soll, dann ist also

oder auch .

Bezeichnen wir ferner die Größe des Anfangskapitals mit k, den Zinsfuß, das ist die Vermehrung des Kapitals für Kapital k und Zeiteinheit mit p, so hat sich also das Kapital k nach der Zeit t um vermerhrt. Somit beträgt nach dem ersten Zeitteilchen Kapital und Zins zusammen:

oder

Dies ist also das Kapital, das bei Beginn des zweiten Zeitteilchens zur Verzinsung gelangt, und ein solches Kapital trägt während dieses zweiten Zeitteilchens einen Zins von der Größe . Somit betragen nach dem zweiten Zeitteilchen Kapital und Zins zusammen:

und es ist leicht einzusehen, daß nach dem dritten Zeitteilchen der Betrag von Kapital und Zins zusammen die Größe und nach dem nten, d.h. nach Verlauf der Zeit t:

erlangt haben muß. Diesem Werte des Endkapitals läßt sich nun noch leicht eine andere Form geben. Setzen wir zunächst aus der erstgefundenen Gleichung t : n an Stelle von t, so nimmt die letzte Gleichung die Form an:

. Der Faktor

läßt sich nun leicht nach dem binomischen Lehrsatz zu der Reihe entwickeln:

Diese Reihe vereinfacht sich bedeutend durch die Betrachtung, daß wir davon nur die durch Ausmultiplizieren der Binomialkoeffizienten entstehenden Glieder beizubehalten brauchen, die kein n im Nenner haben, da die letzteren neben den ersten vollständig verschwinden, d.h. zu Null werden, wenn wir, wie dies hier erforderlich ist, die Größe n unendlich groß annehmen. In diesem Falle erhalten wir nämlich:

Ganz dieselbe Reihe würden wir auch durch Entwicklung einer anderen Binomialreihe, nämlich der Reihe für erhalten. Diese liefert nämlich durch Entwicklung ebenfalls:

wenn auch hier die durch Ausmultiplizieren der Binomialkoeffizienten entstehenden Glieder, die n im Nenner haben, weggelassen werden. Man kann also auch als Wert des Endkapitals schreiben:

Die Größe läßt sich aber weiter entwickeln zu

was nach dem Ausmultiplizieren und Weglassen der Glieder, die n im Nenner enthalten, die einfache Zahlenreihe

die ausgerechnet die konstante Zahl 2,718 281 828 459 ergibt. Diejenigen unserer Leser, die schon mit natürlichen Logarithmen gerechnet haben, werden in dieser Zahl sofort die Basis der natürlichen Logarithmen erkannt haben, die gewöhnlich mit dem Buchstaben e bezeichnet wird, so daß wir also auch schreiben können:

oder .

Die Größe pt ist also der natürliche Logarithmus des Quotienten K : k , so daß also

oder

ist, aus welcher Gleichung sich die Größe der Zeit berechnen läßt, die erforderlich ist, um eine Größe k durch ein Wachstum nach dem obigen Gesetze auf den Wert K zu vergrößern. Die Größe des Zuwachses selbst findet sich als K - k , d.h. zu

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