ÜBER DIE BERECHNUNG EINIGER KONSTANTEN IN DEN STRAHLUNGSGESETZEN

von

Christian Strutz

Viele Physikbücher präsentieren die Strahlungsgesetze einfach als Formeln mit der BOLTZMANN-Konstante k ,dem PLANCKschen Wirkungsquantum h und der STEFAN-BOLTZMANN-Konstante s als "Naturkonstanten" und lassen den Leser darüber im Unklaren, ob es sich bei den Formeln und Konstanten um experimentell ermittelte Zusammenhänge oder um theoretisch ableitbare Größen handelt. Da ich das Glück habe, eine Kopie der PLANCKschen Originalarbeit in der Hand zu halten, will ich versuchen, die Herleitung seines Strahlungs-gesetzes als Skizze wiederzugeben.

PLANCK (1900) führt sein Gesetz auf die von Strahlung erzeugte Wahrscheinlichkeit W der Unordnung oder Entropie S zurück. Als Grundlage dient ihm die als BOLTZMANN-Postulat bekannte Gleichung (1)

(1)

Die Boltzmannkonstante k ist der Quotient zwischen der universalen Gaskonstante R und der Avogadrozahl NA ( k = R / NA ). Die additive Konstante C bleibt willkürlich. Die Gleichung (1) ist nach PLANCK ein Ausdruck dafür, daß die Entropie SN eines Systems proportional zum Natürlichen Logarithmus einer Wahrscheinlichkeit W ist. Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß N Resonatoren (Teilchen) insgesamt die Energie UN besitzen. Denn die Resonatoren befinden sich nach PLANCK in gleich wahrscheinlichen aber diskreten Energiezuständen (Zellen). Mit den Modellen der Abbildung 1 zeigt MESCHKOWSKI (1968), was damit gemeint ist.

 

Die von PLANCK benutzte BOLTZMANN-Statistik geht davon aus, daß je zwei Verteilungen der individuellen als Punkt und Ring symbolisierten Teilchen auf die Zellen gleich wahrscheinlich sind. Es gibt 32 = 9 Möglichkeiten, zwei Teilchen auf 3 Zellen zu verteilen.

 

In der BOSE-Statistik entfallen die individuellen Unterscheidungen. Ein "Zustand" gilt als ausreichend beschrieben, wenn wir sagen können, wie viele Teilchen in jeder Zelle liegen. Es gibt 6 mögliche gleich wahrscheinlich geltende Verteilungen.

 

Die FERMI-Statistik benutzt das von PAULI für die Atomphysik aufgestellte Prinzip, das besagt, daß niemals zwei Teilchen in einer Zelle untergebracht sein können. Dies führt auf nur drei mögliche und gleich wahrscheinliche Verteilungen.

 

Der entscheidende Schritt bei PLANCK besteht darin, daß er die Wahrscheinlichkeit W in der Gleichung (1) durch einen Ausdruck aus der Kombinatorik ersetzt, wobei N die Anzahl der Resonatoren und P wohl die Anzahl der "Energiezellen" symbolisieren soll.

(2)

.

Den Quotienten als Argument des Logarithmus stellt PLANCK als Differenz dar.

(3)

Die Schwingungsenergie U ist nach PLANCK das Produkt aus P mal dem Energieelement e, so daß P gleich dem Quotienten aus U und e wird.

(4)

Die gesamte Energie UN eines Systems ist das Produkt aus N Resonatoren mal deren individueller Energie, so daß im Gleichgewicht der Quotient aus UN und U gleich 1 ist.

(5)

Da sich im Laufe seiner Umformungen von (3) ergibt, daß U /e = U / hn, setzt PLANCK kurzerhand die Nenner gleich und schnürt mit (6) zum ersten Mal sein folgenträchtiges Energiepaket hn:

(6)

Dadurch, daß das Energieelement e der Frequenz n proportional ist, lautet jetzt die Entropie-Gleichung (7)

(7)

wobei k und h zunächst nur als Proportionalitätskonstanten dienen. Der Differentialquotient dS nach dU ergibt dann (8):

(8)

wobei (9) berücksichtigt, daß dieses Differential der Temperatur T umgekehrt proportional ist.

(9)

Einleuchtender wäre mir allerdings der Zusammenhang, hätte PLANCK geschrieben:

.

Aus der Gleichung (9) entsteht nun die Komponente U des PLANCKschen Strahlungsgesetzes

(10)

Bis hierher wird klar:

• Die eFunktion in der Formel des PLANCKschen Strahlungsgesetzes hat ihren Ursprung im Natürlichen Logarithmus der Wahrscheinlichkeit W dafür, daß N Teilchen die Gesamtenergie UN haben.

• Der Exponent hn / kT spezifiziert das Verhältnis zwischen Strahlungs- und Wärmeenergie.

• Der Minuend "-1" folgt aus der Gleichungsetzung N = ( UN / U ) = 1. Würde dieser Minuend wegfallen, so hätten wir das WIENsche Strahlungsgesetz vor uns. Dieses unterscheidet sich vom PLANCKschen dadurch, daß das Maximum der abgegebenen Energie im Bereich des sichtbaren Lichtes geringer ausfällt. Die Abbildung 2 verdeutlicht dies.

Abbildung 2

Die andere Komponente in der PLANCKschen Formel lautet

.

Sie ist der Ausdruck für die Proportionalität zwischen der aufgefangenen Energie und dem Quadrat der Frequenz n der Strahlung bzw. dem Kehrwert der dritten Potenz der Lichtgeschwindigkeit. Zusammengesetzt ergeben die beiden Komponenten

(11)

als Ausdruck für die räumliche Energiedichte E eines Schwarzen Strahlers.

Durch die Beziehung: Frequenz gleich Vakuum-Lichtgeschwindigkeit geteilt durch Wellenlänge (n = c0 / l) und die Multiplikation der Gleichung (11) mit

entsteht die Formel (11a).

(11a)

Die Energieverteilung hängt von der absoluten Temperatur T der "schwarzen" Strahlungsquelle ab. Die Abbildung 3 zeigt diesen Zusammenhang für unterschiedliche Temperaturen.

Abbildung 3

Je höher die Temperatur desto schiefer ist die Spektralverteilung. Nach dem WIENschen Verschiebungsgesetz wandert mit steigender Temperatur des Strahlers das Maximum der Kurven in Richtung kürzerer Wellenlängen. Die zu 5870 K gehörende Verteilung entspricht dem Sonnenspektrum, das der Photosphäre der Sonne entspringt.

Bei welcher Wellenlänge genau befindet sich das Maximum? Hier hilft KÜHLEIN (1968) weiter: Der Formel (11a ) entsprechend muß es sich genau dort befinden wo der Nenner i

(12)

am kleinsten ist. Ich muß also di nach dl differenzieren und gleich Null setzen. Zur Vereinfachung der Rechnung benutze ich z als Exponenten der eFunktion.

(13)

Die folgenden Gleichungen zeigen den Vorgang der Differenzierung nach der Kettenregel.

Den letzten Schritt, die genaue Näherung von z in der transzendenten Gleichung, schaffe ich per Iteration mit dem Computer, so daß ich mit (14)

(14)

den Wert für das Produkt von lmax an der Stelle des Maximums bei der Strahler-Temperatur T erhalte. Die Konstanz dieses Produkts ist Inhalt des WIENschen Verschiebungsgesetzes. So verraten die Strahlen die Temperatur ihres Ursprungs.

Die Berechnung zeigt, daß der Zahlenwert dieser WIENschen Konstanten allein von der experimentell ermittelten Proportionaltät mit dem Kehrwert der fünften Potenz der Wellenlänge, also von der Zahl 5 abhängt.

Umgekehrt läßt sich bei bekannter Temperatur die Wellenlänge lmax berechnen. Angewandt auf die Sonnentemperatur von 5870 K erhalte ich eine Wellenlänge von lmax = 494 nm. Das trifft etwa die Mitte des für uns sichtbaren Spektrums, das von ca 400 nm (blau) bis 700 nm (rot) reicht.

Auch ohne Verwendung der Konstanten z kann ich mit der Gleichung (15) das soeben gefundene Ergebnis "herausiterieren".

(15)

Das kleine LOTUS-Makro lautet:

\A {if LMAXT>@ABS(FORMEL)}

{let FORMEL,LMAXT}

{\A}

wobei eine Zelle des Spreadsheet, entsprechend der linken Seite der Gleichung, den Namen LMAXT trägt, während eine andere Zelle mit dem Namen FORMEL die rechte Seite der Gleichung enthält. Natürlich entsteht dadurch eine "endlose" Schleife, die ich mit ESC abbrechen muß. Ich erhalte aber eine auf neun Kommastellen genaue Schätzung von lmaxT.

PLANCK hat die Gleichung (14) benützt, um unter Verwendung von z und einem experimen-tellen Wert von lmaxT den Zahlenwert seines Wirkungsquantums h zu bestimmen:

(16)

.

Die maximale Strahldichte L ist der fünften Potenz der absoluten Temperatur proportional.

(17)

Den Proportionalitätsfaktor c4 erhalte ich, indem ich einfach, unter Weglassung von p, die WIENsche Konstante lmax.T in die Gleichung (11a) einsetze. Diese Methode habe ich von SIEGEL et al. (1981) übernommen, mit dem Unterschied, daß ich auch für die Berechnung von c4 die Konstante z verwende.

Um schließlich die Gesamtenergie als Fläche unter der Verteilungskurve zu berechnen, brauche ich das Integral der Wellenlängen l von 0 bis Unendlich. Dies führt zum STEFAN-BOLTZ-MANNschen Gesetz (18)

(18)

Es geht um die Berechnung der Konstanten s. Zur Vereinfachung brauche ich wieder z und nach KÜHLEIN (1977) das Differential dl nach d z.

Die folgenden Gleichungen zeigen den Vorgang der Integration und die Berechnung von s.

Bemerkenswert ist hierbei die von GOETZBERGER und WITTWER (1993) erwähnte exakte Lösung des Integrals (19) ,

(19)

das die STEFAN-BOLTZMANN Konstante s von experimentellen Unsicherheiten befreit

Abschließend möchte ich bemerken, daß, wo immer die Konstante z bei der Berechnung von Konstanten in den Strahlungsgesetzen auftaucht, damit implizit die Proportionalität zur fünften Potenz der Temperatur oder der Wellenlänge zum Ausdruck kommt. Dies ist der Fall bei

• dem PLANCKschen Wirkungsquantum h,

• der WIENschen Konstanten lmaxT,

• der Konstanten c4 und der

• STEFAN-BOLTZMANN Konstanten s.

Somit scheint die Zahl 5 in den Strahlungsgesetzen eine besondere Bedeutung zu haben.

Ist das der Pentakkord der Strahlung?

 


Das Integral als Bestandteil der STEFAN-BOLTZMANN-Konstante s
nach der Herleitung von H. MÜHLIG (1999)





RIEMANNsche z-Reihe

geometrische Reihe


(BERNOULLIsche Zahl)




Literatur

GOETZBERGER, A. und V. WITTWER 1993: Sonnenenergie; Thermische Nutzung. Teubner, Stuttgart.

KÜHLEIN, T. 1977: Inegralrechnung II. Mentor-Repetitorien Bd. 36. Mentor Vlg. München.

MESCHKOWSKI, H. Wahrscheinlichkeitsrechnung. BI Taschenb. 285/285a, Mannheim.

PLANCK, M. 1900: Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum. Ann.d.Physik IV (1901) 553-563.

SIEGEL, R., J.R. HOWELL und J. LOHRENGEL 1988: Wärmeübertragung durch Strahlung. U. GRIGULL Hrsg. Tl.1: Grundlagen und Materialeigenschaften. Springer Berlin.

Dr Christian Strutz, Steigstr. 26 D-88131 LINDAU

Lindau, März 1999

Über Fragen und Kritik freut sich der Autor : email Strutz_Christian@t-online.de

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