Von Ellipsen im Himmel

Himmelsmechanik in einfacher Mathematik

von

Christian Strutz

Einleitung

Nach dem Urknall hat sich allmählich die Materie verdichtet, aus der die Himmelskörper entstanden sind. In unserem Sonnensystem hat heute jeder Planet seine Umlaufzeit für seinen Weg um die Sonne und er bewegt sich auf einer mehr oder weniger ausgeprägten Ellipsenbahn.

Was verursacht die Ellipsenform der Bahnen? Sind es die unterschiedlichen Entfernungen von der Sonne, sind es Störungen durch andere Himmelskörper? Der Himmelsmechanik Newtons zufolge liegt der Grund dafür, daß sich die Planeten auf Ellipsenbahnen bewegen, in dem zur Sonne gerichteten, also negativen, Gravitationspotential. Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins ist geht die Ellipsenform auf die Krümmung des Raumes zurück, der durch die Masse der Sonne verursacht wird. Sind die Bahnen möglicherweise aus Explosions-Spiralen entstanden? Vielleicht ähneln die Planeten im Gravitationsfeld der Sonne einem Stück Holz in der Nähe eines Wasserstrudels in einem Bach, wie wir dies schon oft beobachtet haben:

Das Holz ist noch weit und nähert sich langsam dem Wirbel. Es wird schneller, immer schneller je näher es dem Zentrum kommt. Es nimmt mit rasender Geschwindigkeit die enge Kurve und schießt aus dieser in sicherem Abstand heraus, so daß der Strudel das Holz nicht mehr erfassen kann. Das Holz wird langsamer und begibt sich auf die entfernte Kurve seiner Ellipsenbahn, um später wieder zum Strudel zurückzukehren...

Die folgenden Seiten sollen dazu dienen, die Gesetze, die die Bahnen der Himmelskörper bestimmen, möglichst einfach zu beschreiben.

Die Ellipsenbahn als Kegelschnitt-Figur

Nachdem Johannes Kepler jahrelang die Daten seines Vorgängers Tycho Brahe ausgewertet und die Kegelschnitte des Apollonios von Perge studiert hatte, formulierte er in den Jahren 1609 und 1619 mit seinen Gesetzen die Vermutung, daß sich die Planeten auf Ellipsenbahnen bewegen. Sein erstes Gesetz, dem erst Isaac Newton 1687 zu voller Anerkennung verholfen hat, lautet:

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Die Abbildung 1 zeigt die Schnitte am Kreiskegel, die zur Ellipse, Parabel und Hyperbel führen.

Abbildung 1

KEGELSCHNITTE

Quelle: Honsberg, H. 1970: Vektorielle analytische Geometrie. BSV München

Nach Kepler lassen sich alle Bahnen der Himmelskörper mit Kegelschnitten, also dem Kreis, der Ellipse, der Parabel oder der Hyperbel beschreiben. Die Kegelschnitte sind aufs engste miteinander verwandt. Allein der Zahlenwert der numerischen Exzentrizität e = e/a, das Verhältnis zwischen der linearen Exzentrizität e und der großen Halbachse a bewirkt, daß aus dem Kreis eine Ellipse und aus dieser eine Parabel und eine Hyperbel wird. Dies zeigt besonders deutlich die Scheitelgleichung:

y² = 2px - (1 - e²)*x².

Dabei ist p der Formparameter (p = b²/a) des Kegelschnitts. Die x-Achse ist die Hauptachse. Die y-Achse verläuft als Tangente an den Scheitel der Figuren (Abb. 2).

Abbildung 2

KREIS ELLIPSE PARABEL HYPERBEL

Es handelt sich um:

einen Kreis, wenn e = 0; yK = 2px - x²

eine Ellipse, wenn 0 < e < 1; yE = 2px - (1-e²)*x² elleipw: "ich nehme etwas weg"

eine Parabel, wenn e = 1; yP = 2px paraballw: "ich halte Gleichgewicht"

eine Hyperbel, wenn e > 1; yH = 2px + (1-e²)*x² uperballw: "ich lege noch etwas drauf".

Was ist eine Ellipse? Im Gegensatz zum Kreis, der entsteht, wenn wir einen geraden Kreiskegel horizontal durchschneiden, erhalten wir eine Ellipse, indem wir den Kreiskegel "schräg köpfen" (Abb. 1), so daß der Winkel zwischen der Ellipsen-Ebene und der Kegelachse kleiner als 90° ist. Die Abbildung 3 zeigt einige Merkmale der Ellipse.

Abbildung 3

DIE BAHNELLIPSE

F Brennpunkt; M Mittelpunkt; a große Halbachse; b kleine Halbachse; e lineare Exzentrizität; p Formparameter; r2= a+e Apo-Distanz; r1 = a-e Peri-Distanz

 

 

In der Himmelsmechanik verwendet man die Gleichung der Kegelschnitte in den Polarkoordinaten r und f:

r = p /(1 ± e * cos f) ,

Das Koordinatensystem hat seinen Ursprung in einem der Brennpunkte F oder F', je nach Vorzeichen des Ausdrucks e cos f (Abb. 3). Durch ein positives Vorzeichen ist gewährleistet, daß sich der kürzeste Abstand zwischen dem Zentrum und dem Himmelskörper auf der positiven Seite, also rechts, vom Urprung (Pol) des Koordinaten-systems befindet. Der Abstand zwischen dem Brennpunkt F und einem Punkt auf der Bahn wird als Radiusvektor r oder "Brennstrahl" bezeichnet. Zwischen der Hauptachse und dem Brennstrahl befindet sich der Winkel f.

Nach Newtons Prinzip der Wechselwirkung handelt es sich bei dem Brennpunkt der Ellipsenbahn um den gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Satellit. Im Vergleich zur Masse der Erde, mit mE = 5.974 * 1021 Tonnen, ist das Gewicht des Satelliten - selbst wenn er mehrere Tonnen wiegt - verschwindend klein. Auch die Erde macht nur drei Millionstel der Sonnenmasse aus. Deshalb gilt der Erdmittelpunkt als gemeinsamer Schwerpunkt von Satellit und Erde und die Sonne als Gravitationszentrum des Planetensystems..

Die Satellitenbahn als Modell für die Planetenbahnen

Angenommen, ein Satellit umkreist die Erde in 10 000 km Entfernung, dem Urzeigersinn entgegen, auf einer Kreisbahn. Dann schlägt er aber eine elliptische Umlaufbahn ein. Wie verhält es sich mit seinen Bahnparametern im Sinne der Keplerschen Gesetze?

Der kleinste Abstand zwischen Erde und Satellit - Perigäum genannt - ist die Differenz zwischen der großen Halbachse a und der linearen Exzentrizität e = (a² - b²):

r1 = a - e .

Da der Kosinus f bei 0° und 360° den Wert von 1 hat, bekommt r1 die Länge von

r1 = p / (1+e) .

Entsprechend gilt für den größten Abstand - Apogäum genannt -

r2 = a + e .

Der Kosinus f bei 180° hat den Wert von -1 . Deshalb hat der Abstand r2 die Länge von

r2 = p / (1-e) .

Alle übrigen Ellipsen-Parameter lassen sich auf die Minimal- und Maximaldistanzen von r1 und r2 zurückführen, wie die folgende Übersicht zeigt:

große Halbachse a (r1 + r2)/2

kleine Halbachse b Ö(r1r2)

Form-Parameter p 2r1r2/(r1 + r2)

lineare Exzentrizität e (r2 - r1)/2

numerische Exzentrizität e (r2 - r1)/(r1 + r2)

Bahnformen als Funktion der Geschwindigkeiten von Satelliten- und Sonden

Im Sinne der Bahnformen als Kegelschnitte gilt nach HAMMER (1973) für Satelliten und Sonden:

• Wird ein Körper nach dem senkrechten Abschuß (Fluchtgeschwindigkeit v1 = 11.2 km/s) in eine horizontale Umlaufbahn in Erdnähe gelenkt, so muß seine Bahngeschwindigkeit v2 = 7.9 km/s betragen, wenn er sich in einer Kreisbahn um die Erde bewegen soll.

• Erhält der Körper eine kleinere Geschwindigkeit (v < v2), so fällt er auf die Erde zurück.

• Steigert man die Geschwindigkeit über v2 hinaus, so entsteht statt der Kreisbahn zunächst eine Ellipsenbahn, nämlich für v2 < v < v1.

• Erreicht die Geschwindigkeit den Betrag der Fluchtgeschwindigkeit ( v1 = 11.2 km/s), wird die Ellipse zur Parabel, und der Körper verläßt damit die Erde ganz.

• Bei noch größerer Geschwindigkeit (v > v1) entfernt sich der Körper auf einer Hyperbelbahn aus dem Schwerefeld der Erde."

Somit sind bei den Bahnformen, in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit, alle Kegelschnitte vertreten. Die Geschwindigkeit verursacht bei raketengetriebenen Flugkörpern nicht nur den Übergang von der Kreis- (e = 0) zur Ellipsenbahn (0 < e < 1), sondern sie bewirkt auch das Platzen der Ellipse zur Parabel (e = 1) und den Übergang von der Parabel- zur Hyperbelbahn (e > 1).

Die Grundlagen der Flucht (v1)- und Kreisbahngeschwindigkeit (v2) sind:

• Die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche gE = 0.00981 km/s², benannt nach ihrem Entdecker, Galileo Galilei.

• Das Gravitationsgesetz von Newton definiert die Fallbeschleunigung gE als gE = G * mE / rE² , wobei

• G die Gravitationskonstante mit G = 6.673 * 10-20 km3/(kg*s²)

• und mE die Erdmasse mit mE = 5.974 * 1024 kg ist.

• Das Kraftpotential der Erde ist dann das Produkt aus G und mE geteilt durch den Erdradius rE (6 371 km).

Wie hoch muß die Geschwindigkeit eines Körpers mit der Masse m sein, damit er die Erdanziehung überwinden kann? Die Bewegungsenergie E = m*v²/2 muß so groß sein, daß sie für die Hubarbeit A = m * gE * rE von der Erdoberfläche bis in "unendlich" weite Ferne ausreicht:

m*v1²/2 = m * GmE / rE .

Die Masse des Flugkörpers m steht auf beiden Seiten der Gleichung im Zähler und hebt sich auf, so daß das Quadrat der Fluchtgeschwindigkeit gleich dem doppelten Potential der Erde wird:

v1² = 2 * GmE / rE ;

v1 = Ö(2 * 3.986 * 105/ 6371) = 11.18 km/s .

Interessant ist der Ursprung des Faktors 2 als Komponente des Quadrats der Fluchtge-schwindigkeit v1². Der Quotient ½ stammt aus dem Integral der Beschleunigung als E = m * v²/2. Geometrisch gesehen ist die Größe v²/2 die Fläche eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit der Geschwindigkeit v als Katheten und der Fläche F = v²/2.

Bei der Geschwindigkeit auf der Kreisbahn soll die Kraft m * v2² / rE , die einen Körper in den Erdmittelpunkt zieht, im Gleichgewicht mit dem Gewicht des Körpers stehen. Das Gewicht G ist gleich der "trägen" Masse m mal der Erdbeschleunigung gE.

m * v2² / rE = m * gE ;

v2² = GmE / rE ;

v2 = Ö( 3.986 * 105/ 6371) = 7.91 km/s.

Wieder verschwindet die Masse m aus der Gleichung. Als Hypothenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Geschwindigkeits-Dreiecks mit den Katheten v2 ist die Fluchtgeschwindigkeit v1 mit der Kreisbahngeschwindigkeit v2 durch die Beziehung

v1 = Ö2 * v2

verbunden. Strenggenommen gelten die Geschwindigkeiten v1 und v2 nur auf der Erdoberfläche. Für größere Entfernungen von der Erde spielt der Gesamtradius r, das ist der Abstand von der Erde plus Erdradius rE , die entscheidende Rolle:

r = Abstand + rE .

Die Kreisgeschwindigkeit vK und die Fluchtgeschwindigkeit vF betragen im jeweiligen Abstand von der Erde:

vK = Ö(GmE / r)

vF = Ö(2GmE / r) .

Für das Beispiel des Satelliten im Erdabstand von 10 000 km gilt dann:

r = rE + Abstand = 6 371 + 10 000 = 16 371 km

vK = Ö(GmE / r) = 4.93 km/s

vF = vK*Ö2 = 6.97 km/s.

Bei der Geschwindigkeit von 4.93 km/s würde der Satellit auf einer Kreisbahn laufen, bei einer höheren Geschwindigkeit würde er eine Ellipsenbahn einschlagen und ab 6.97 km/s würde er als Sonde auf einer Parabel und in weiterer Entfernung auf einer Hyperbelbahn die Erdanziehung überwinden.

Bei der Kreisbahn des Satelliten ergibt sich die Umlaufzeit T aus dem Kreisumfang 2pr und der gleichförmigen Geschwindigkeit vK in Kilometern pro Sekunde:

T = 2pr / vK ;

T = 2p * 16 371 / 4.93 » 20 846 Sekunden » 5 Stunden 47 Minuten.

Das Beispiel zeigt, daß zu jedem Abstand von der Erde sowohl eine spezielle Kreisbahn-geschwindigkeit vK mit einer spezifischen Umlaufzeit als auch eine spezielle Fluchtge-schwindigkeit vF gehören. Die Abbildung 4 zeigt diesen Zusammenhang bei unterschiedlichen Abständen von der Erde.

Abbildung 4

Geschwindigkeiten auf Ellipsenbahnen

Das zweite Keplersche Gesetz lautet:

Der von der Sonne zum Planeten gezeichnete Abstand überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Wenn also der Satellit dem zweiten Keplerschen Gesetz gehorcht und auf einer Ellipsenbahn in Erdfnähe in gleicher Zeit die gleiche Fläche überstreicht wie in Erdferne, so muß er sich im Perigäum schneller bewegen als im Apogäum.

Analog zur Formel vk2 = G*mE / r für die Geschwindigkeit auf der Kreisbahn lassen sich die Geschwindigkeiten in der Peri- und Apo-Distanz berechnen:

v12 = (G*mE / r1)*(1+e) im Perigäum und

v22 = (G*mE / r2)*(1-e) im Apogäum,

mit dem Unterschied, daß der Formel für die Kreisbahngeschwindigkeit noch als Faktor der Quotient p/r zwischen dem Formparameter p und dem Abstand r zugefügt ist, so daß die allgemeine Formel für das Quadrat der Geschwindigkeit auf einer Kegelschnitt-Bahn lautet:

v2 = (GM/r)*(p/r) = GM*p/r² = B²/r²

Der Ausdruck GM*p ist gleich dem Quadrat der Flächenkonstante , die entsteht, wenn man den Abstand r des Himmelskörpers vom Zentrum mit seiner jeweiligen Geschwindigkeit v multipliziert. Dieses Produkt ist eine Bahnkonstante und wird als Flächengeschwindigkeit bezeichnet.

B/2 ist die pro Zeiteinheit überstrichene "dreieckige" Ellipsenfläche, so daß die gesamte Fläche der Ellipse FE = abp nach einem Umlauf in der Zeit T überstrichen ist:

(B/2)*T= a * b * p; das Quadrieren beider Seiten ergibt:

(GM*p/4)*T² = a3* p* p²; b² ist durch ap ersetzt, umgeformt:

T²/a3 = 4p²/GM; das dritte Keplersche Gesetz.

Da auf der Kreisbahn der Radius r gleich den Hauptachsen a und b und ebenfalls gleich dem Formparameter p ist, trat der Quotient p/r bisher nicht in Erscheinung. Andererseits wissen wir, daß

p / r1 = (1+e) und

p / r2 = (1-e),

so daß wir uns die Formeln für die Geschwindigkeiten im Minimal- und Maximalabstand vom Gravitationszentrum mit dem Quotienten p/r erklären können. Nur wenn sich der Flugkörper im Abstand p befindet, hat er die mit der einfacheren Formel vk2=GM/r berechenbare Kreisbahngeschwindigkeit, denn dann ist p/r gleich 1.

Die Berechnung der Länge des Perigäums r1 bei einer Geschwindigkeit von vp = 6 km/s und einer numerischen Exzentrizität der Bahnellipse von e = 0.5 zeigt, welcher Abstand zu dieser Geschwindigkeit paßt.

r1 = Ö(GmE*a(1-e²) / vP²) Ö(3.986*105*16 371*0.75/36) = 11 660 km

Statt p verwenden wir aus der Gleichung p = a (1-e²) den Ausdruck a (1-e²), um sicherzustellen, daß der Radius r der Kreisbahn zur großen Hauptachse a der Ellipsenbahn wird.

e = a - rP 16 371 - 11 660 = 4 711 km

r2 = a + e 16 371 + 4 711 = 21 082 km

vA= Ö(GmE*(1-e) / r2) Ö(3.986*105*0.5/21 082) = 3.075 km/s.

Damit ist die Ellipsenbahn des Satelliten bestimmt.Wenn also ein Satellit auf einer Ellipsenbahn mit einer numerischen Exzentrizität von e = 0.5 laufen soll, muß er entweder von seiner ursprünglichen Kreisbahn auf 10 000 km Höhe den Abstand von der Erde auf 1 160 km verkürzen, wobei er dann auf 6 km/s beschleunigt würde. Oder er müßte im Apogäum in 11 082 km Entfernung von der Erde auf die angepaßte Geschwindigkeit von 3 km/s abgebremst und auf eine elliptische Umlaufbahn umgelenkt werden.

Die Kreisbahn eines Himmelskörpers ist so instabil, daß schon kleinste Abweichungen der Einschußhöhe eines Satelliten und seiner Geschwindigkeit sowie Einflüsse anderer Himmelskörper genügen, um ihn auf eine Ellipsenbahn zu bringen.

Die Abbildung 4 zeigt, wie sich die Geschwindigkeiten eines Flugkörpers relativ zu ihrem Mittelwert auf der Ellipsenbahn ändern.

 

Abbildung 4

Die sehr einfache Formel v = B/r ist auch dazu geeignet, die Minimal- und Maximalgeschwindigkeit der Erde im Perihel und Aphel zu berechnen, wenn wir die folgenden Parameter der elliptischen Erdbahn berücksichtigen:

r1 = 147.1 * 106 km GMS = 1.327 * 1011 km3/s² vP = 30.29 km/s im Perihel

r2 = 152.1 * 106 km B = 4.455 * 109 km²/s vA = 29.29 km/s im Aphel

Umlaufzeiten auf Ellipsenbahnen

Das dritte Keplersche Gesetz lautet:

Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer mittleren Entfernungen zur Sonne.

T1² / T2² = a13 / a23 im Vergleich zweier Himmelskörper und

T² / a3 = 4p² / GM; wie oben hergeleitet.

Mit der 'mittleren Entfernung zur Sonne' ist durch die Gleichung a = (r1 + r2) / 2 die große Halbachse der Ellipse gemeint. Die Abbildung 5 zeigt die Ellipsenschar, deren große Halbachse, wie im Beispiel mit dem Satelliten auf 10 000 km Entfernung, gleich dem Radius der Kreisbahn ist.

Abbildung 5

 

Auf einer Ellipse mit a = r hat der Satellit einen etwas kürzeren Weg zurückzulegen als auf der Kreisbahn. Deshalb wäre es denkbar, daß er für seinen Umlauf auch weniger Zeit braucht. Die Anwendung von Keplers drittem Gesetz zeigt aber, daß der Satellit auf die Minute genau der vorgegebenen Umlaufzeit T gehorcht. In angepaßter Form lautet das dritte Keplersche Gesetz:

T = 2ap* Ö(a / GmE) .

Die Ausrechnung ergibt: T = 2*16 371*p*Ö(16 371 / ( 3.986 * 105 )) = 20 846 s .

Das sind genau die 5 Stunden und 47 Minuten der Umlaufzeit auf der Kreisbahn. Damit wird klar, daß auf der Ellipsenbahn, deren große Halbachse a gleich dem Radius r der Kreisbahn ist, die Umlaufzeit T gleich der Umlaufzeit auf der Kreisbahn ist.

In praxi wird die Formel bei bekannter Umlaufzeit T dazu benützt, um mit

a3 = GM*T²/(4p²)

einen genauen Schätzwert für die Länge der großen Halbachse a zu erhalten. Auch die Entfernung geostationärer Nachrichten-Satelliten läßt sich mit Hilfe dieser Formel bestimmen. Diese Satelliten umkreisen die Erde in genau 24 Stunden, so daß sie sich - von der Erde aus gesehen - immer in der selben Position befinden. Der notwendige Abstand beträgt dann: Abstand = (GmE*T²/4p²)1/3 - rE = 35 872 km.

In Anwendung des dritten Keplerschen Gesetzes zeigt das Splitten von a3 in a3 = a * a² eine überraschende Definition des Produktes GM aus der Gravitationskonstante G mal der Masse des Zentralkörpers M

GM = a*(2ap/T)²

als Hauptachse a mal dem Quadrat der Kreisbahngeschwindigkeit vk². Dadurch wird klar, daß auch der Satellit für die unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf der Ellipsenbahn keinen speziellen Antrieb braucht. Er wird, gleichsam auf einer Gravitationsschiene, die durch

• die Erdmasse,

• die Gravitationskonstante und

• die Entfernung zum Erdmittelpunkt

bestimmt ist, auf seiner Bahn "gefahren", wie dies auch mit den Planeten des Sonnen-systems geschieht.

Übergangsbahnen der Sonden

Eine praktische Bedeutung haben die Ellipsenbahnen auch bei den HOHMANN - Übergängen der Raumsonden. Für diese hat Walter Hohmann 1925 ellipsenförmige Bahnen für den Übergang von einem Kreisbahn-Niveau ins andere entwickelt.

Es handelt sich hierbei um die energetisch sparsamste Bahn für einen Flugkörper, um zu einem anderen Planeten zu gelangen. Die Abbildung 6 zeigt den Übergang von einer Umlaufbahn in einen anderen Orbit in Form der halben Umdrehung einer Spirale.

Abbildung 6

ÜBERGANG VON EINER UMLAUFBAHN IN EINE ANDERE

 

Die Bewältigung einer Strecke auf dem kürzesten Weg würde einen kontinuierlichen Treibstoffverbrauch zur Folge haben, was aus praktischen Gründen unmöglich ist. Der Flugkörper muß deshalb auf eine Umlaufbahn gebracht werden, von der er dann auf die Bahn des Zielplaneten überführt wird.

Um den Saturn zu erreichen, wurde die Sonde PIONEER 11 bei Fluchtgeschwindigkeit in 41 000 km Entfernung am Jupiter vorbeigeführt, durch dessen starkes Gravitationsfeld sie auf 47.5 km/s beschleunigt und so 1974 auf den Weg zum Saturn gezwungen wurde (fly-by-method).

Spiralen als Ursprung der Ellipsenbahnen?

Auf ihren Ellipsenbahnen gewinnen und verlieren die Planeten ständig an Abstand zur Sonne. Die geometrische Figur, die auch den kontinuierlichen Vorgang des Zunehmens bzw. Abnehmens beschreibt, ist die Spirale. Wenn es schon optisch schwerfällt, bei einer Übergangsbahn zwischen einem Teil einer Ellipse und einem Teil einer Spirale zu unterscheiden, so müßten wir den beiden Figuren auch eine geometrische Verwandtschaft nachweisen können.

Abbildung 7

ELLIPSE AUS ZWEI GEGENLÄUFIGEN SPIRALEN

der Pol als Ausgangspunkt der Spiralen und Brennunkt der Ellipse

 

 

Die Abbildung 7 zeigt die einfachste Form von Spiralen mit der Formel:

r = ± A * f

in Polarkoordinaten, wobei r der Ortsvektor und A eine Konstante ist. Die Bewegungs-richtung der Spirale ist abhängig vom Vorzeichen der Konstante. Der Winkel f ist im Bogenmaß in Einheiten von p gemessen.

Die Abbildung verdeutlicht das Modell zweier spiegelbildlich gleicher und gegenläufiger Spiralen, die von einer Ellipse umschlossen werden.

Die Schnittpunkte der Spiralen mit der x- und y-Achse sind gleichzeitig die Parameter r1, p und r2 der Ellipse:

Winkel Vielfache cos f Spirale Ellipsen-

von p r parameter

540° 3 -1 3*p*A r1 = p/(1+e)

630° 7/2 0 7/2*p*A p

720° 4 1 4*p*A r2 = p/(1-e)

Der Unterschied zwischen der Peri- und Apo-Distanz der Ellipse, r1 und r2, kommt in diesem Modell durch den Unterschied der Ortsvektoren r der Spiralen nach einer halben Drehung, von 540° auf 720°, zustande:

r1 - r2 = 4pA - 3pA = p*A .

Daraus ergibt sich die Größe der Konstanten A, die für den "Gangunterschied" der Spirale verantwortlich ist, als

A = (r1 - r2) / p .

Ist es vorstellbar, daß eine Spirale einen Flugkörper zentrifugal, entgegen dem Uhrzeigersinn und immer langsamer werdend aus dem Massezentrum herausführt, während der Flugkörper im Bereich der anderen Spirale im selben Drehsinn in den immer schneller werdenden zentripetalen Sog gerät? Zur Ellipsenbahn würde es vermutlich dann kommen, wenn der Flugköper in Apo-Entfernung so langsam geworden ist, daß er mit steigender Geschwindigkeit zum Peri-Zentrum zurückkehrt, um sich danach in Richtung Apo-Zentrum auszubremsen und so weiter...

Bezogen auf die Umlaufbahn der Erde läßt sich im Sinne dieser Annahmen schätzen, wieviele Spiralumdrehungen notwendig waren, damit die Erde ihre gegenwärtige - leicht ellipsenförmige - Umlaufbahn mit einem Unterschied zwischen Aphel (r2 = 152.1 * 106 km) und Perihel (r1 = 147.1 * 106 km) von 5.0 Millionen Kilometern (2e = 5.0 * 106 km), einnehmen konnte. Aus der Beziehung zwischen der linearen Exzentrizität e und der Spiralen-Konstante A: A = 2e/p lassen sich 1 592 905 halbe Umdrehungen ermitteln. Das besagt, daß die Erde vielleicht die Hälfte davon, nämlich 796 452 volle Spiralumdrehungen - Jahre - um die Sonne benötigt hat, um ihre endgültige Umlaufbahn zu erreichen.

Es bleibt zu überprüfen, ob die Erde in ihren frühen Jahren wirklich einmal um die Sonne herumgewirbelt ist.

Literatur

Diehl, R. 1992: Sonne, Mond und Sterne. Unser Planetensystem - Ein Überblick. Rohwohlt, Reinbek b. Hamburg.

Guthmann, A. 1994: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.Verlg. Mannheim.

Hammer, K. 1973: Grundkurs der Physik. Teil 1. R. Oldenbourg Verl.München, Wien.

Herrmann, J. 1996: Das große Lexikon der Astronomie. Bertelsmann Verl.Gütersloh.

Lindner, K. und M. Schukowski 1994: Astronomie. Lehrbuch für die Sekundarstufe 1. Volk und Wissen Verl., Berlin.

Multicom Publishing Inc.1994: Reise zu den Planeten. CD ROM. Dt.Übersetzung: Media Dynamics Ingenieurges.m.b.H. MDI, Schalks-Mühle.

Polster, S. 1995: WinFunktion Astronomie, Ver. 1.1 CD ROM. bhv Verl.Kaarst.

 

 

Der Autor bedankt sich bei allen, die zur Fertigstellung dieser Arbeit mit Rat und Tat beigetragen haben. Besonderer Dank gilt Frau Elisabeth Andreß für ihre Geduld und ihr Interesse und den Herren Eugen Hümmer, Rainer Kraupner, Rainer Lübbe, Reinhard Pflug und Dr. Christoph Pöppe für ihre wertvolle Kritik und die Aufmunterung, die Arbeit zu schreiben.

Lindau Bodensee, Juni 1998

Zusammenfassung

Die drei Keplerschen Gesetze zeigen in Zusammenhang mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz:

• Die Bahnformen der Himmelskörper lassen sich mit Kegelschnitten (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) beschreiben, wobei der Zahlenwert der numerischen Exzentrizität e die Form der Bahn bestimmt.

• Für die Bewegung eines Himmelskörpers entscheidend ist das Produkt aus der Gravitationskonstanten G und der Masse M eines Zentralkörpers in Relation zur jeweiligen Entfernung r zum Mittelpunkt des Zentralkörpers GM/r, dem Potential das, multipliziert mit dem Quotienten p/r zwischen dem Formparameter p und der Entfernung r, das Quadrat der Geschwindigkeit im jeweiligen Abstand ergibt. Die Geschwindigkeit auf der Kreis- und Ellipsenbahn errechnet sich als v = Ö(GMp/r²). Die Flächenkonstante B = Ö(GMp) vereinfacht die Formel auf v = B/r.

• Bei Fluchtgeschwindigkeit des Flugkörpers springt die Ellipsenbahn auf und verwandelt sich über die Zwischenphase der Parabel zur Hyperbelbahn. Die Fluchtgeschwindigkeit ermöglicht den Raketen die Überwindung der Erdanziehung und den Sonden sowohl Übergang von einem Orbit zum anderen als auch den beschleunigenden Vorbeiflug an massereichen Planeten.

Die geometrische Ähnlichkeit zwischen der Spirale und der Ellipse bei einem Phasenunterschied von 180° verlockt zur Spekulation, daß sich die Ellipsenbahnen der Planeten vielleicht aus Spiralen entwickelt haben.

Dr. Christian Strutz, Steigstr. 26 D-88131 LINDAU
Lindau, März 1999
Über Fragen und Kritik freut sich der Autor : email
Strutz_Christian@t-online.de

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