BEMERKUNGEN ZUR
MAXWELLSCHEN GESCHWINDIGKEITSVERTEILUNG
DER MOLEKÜLE

von

Christian Strutz

 

Es gehört zu unserem Grundwissen, daß das, was wir als Temperatur empfinden und messen, Ausdruck für die Bewegung in Form von BROWNscher Molekularbewegung in Gasen und Flüssigkeiten oder Schwingungen in Festkörpern ist. Wie dies zu verstehen ist, bleibt jedoch den meisten von uns verborgen.

Als Glücksfall betrachte ich es deshalb, bei MESCHKOWSKI (1968)** den Hinweis zu finden, daß MAXWELL sein berühmtes Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle aus der PEARSONschen Chi-Quadrat-Verteilung hergeleitet hat. Der Grundgedanke MAXWELLs bestand vermutlich darin, daß er das Bewegungsintegral eines Moleküls mit seiner Wärmeenergie gleichgesetzt hat:

(1)

Auf der linken Seite der Gleichung (1) befindet sich der Ausdruck für die Bewegungsenergie, auf der rechten Seite der der thermischen Energie. Hier bedeutet m die Masse des Moleküs, v dessen Geschwindigkeit, k die BOLTZMANN-Konstante und T die absolute Temperatur. Der Index von vm deutet an, daß diese Geschwindigkeit die höchste Wahrscheinlichkeit haben soll.

Nun haben wir es aber mit einer riesigen Anzahl von Molekülen zu tun, so daß es sehr unwahrscheinlich wäre, würden sich diese mit einer einheitlichen Geschwindigkeit bewegen. Ich kann mir vorstellen, daß die Geschwindigkeiten schon deshalb variieren, weil die Moleküle oft mit anderen Molekülen zusammenstoßen. Da sich die Moleküle regellos und zufällig in alle Richtungen bewegen, handelt es sich nicht nur um eine Normalverteilung sondern um die Kombination von drei in x , y und z Richtung verlaufenden Geschwindigkeitsverteilungen. Dabei verhalten sich die Quadrate der Geschwindigkeiten additiv.

(2)

Mit der Gleichung (2) ist der klassische Fall für eine Chi-Quadrat-Verteilung gegeben, deren Dichtefunktion mit der Gleichung (3) zum Ausdruck kommt.

(3)

 

Hierbei entstammt der zusätzliche Faktor 2c in (3) der Verteilung der stetigen Dichtefunktion der Geschwindigkeit als kontinuierlichem Merkmal.

Ich kann also c² direkt als auffassen. Mit n=3 wird die 3D-Bewegung der Moleküle berücksichtigt. Die Standardabweichung der Gesamtheit s ist als 1 angenommen und bleibt vorläufig unberücksichtigt. Die notwendigen Umformungen ergeben:

so daß nunmehr auch das physikalische Äquivalent der Gesamtvarianz s²

(4)

in die Berechnung Eingang finden kann, wie dies in den Gleichungen (5a) und (5b) zu sehen ist. Es handelt sich bei s² um die thermische Energie kT pro Molekül-Masse m. Sie sorgt für die Breitenausdehnung der Verteilung.

(5a)

(5b)

Mit (5b) habe ich die klassische MAXWELLsche Formel vor mir. Die Abbildung 1 zeigt anhand eines hypothetischen Beispiels die Wirkung der Temperatur auf die Geschwindigkeits-verteilung.

Abbildung1

Wie zu erwarten, erhöht sich die Geschwindigkeit der Moleküle mit steigender Temperatur, was aus der Verschiebung der Maxima ersichtlich ist. Gleichzeitig vergrößert sich die Varianz s² der Geschwindigkeiten, als würden die Moleküle nur widerwillig und unvollstädig auf die erhöhte Temperatur mit schnellerer Bewegung reagieren. Verbunden ist der Temperaturanstieg mit einer Verflachung des Maximums und einer zunehmenden "Normalisierung"der Verteilungsfunktion, die bei niedrigen Temperaturen extrem asymmetrisch ist.

Was "verursacht" das Maximum solch einer Verteilungskurve? Um dies herauszufinden, erstelle ich mir ein möglichst einfaches Modell einer reziproken eFunktion in der Form von

y = x . e-x , wie in der Abbildung 2 zu sehen ist.

Abbildung 2

Der Abbildung 2 entnehme ich, daß ich das Maximum der Funktion genau bei x = 1 erhalte. Der Zahlenwert von y beträgt dort 1/e = 0.36..

Übertragen auf die MAXWELLsche Geschwindigkeitsverteilung bedeutet dies, daß ich durch Umformung der Gleichung (5b) versuchen muß, eine ähnlich einfache Funktion zu erstellen. Die ist mir, glaube ich, mit der Gleichung (6) gelungen.

(6)

In dieser Gleichung ist, ganz wie im Modell, der Exponent E der eFunktion im Nenner gleich dem Zähler des Bruches. Setze ich nun noch den Exponenten E gleich 1, so erhalte ich unmittelbar den Wert der häufigsten und somit wahrscheinlichsten Geschwindigkeit, wie die nachfolgende Übersicht zeigt. Die Übersicht zeigt auch, daß ich mit dieser Gleichsetzung auf die Gleichung (1) d.h. auf die Gleichungsetzung von Bewegungs- und Wärmeenergie zurückkomme.

Was die durchschnittliche Geschwindigkeit betrifft, so weiß ich, daß sich diese in einer links-schiefen Verteilung rechts vom häufigsten und wahrscheinlichsten Wert befindet. Durch Berechnung finde ich heraus, daß ich den Exponenten der eFunktion mit 4/p gleichsetzen muß.

Den Rest der Umformungen zeigt wieder die Übersicht auf der rechten Seite.

 

ÜBERSICHT ÜBER DIE BERECHNUNG DER GESCHWINDIGKEITSPARAMETER

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

Durchschnittliche Geschwindigkeit

Die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit verdeutlicht mir, wozu der eigenartige Ausdruck
[G(3/2)] -1 = 1.128 gut gewesen ist: Er zeigt mir mit

(7)

den Weg zum Mittelwert der Chi-Quadrat-Verteilung der molekularen Geschwindigkeiten.

So ist für mich die Gesetzmäßigkeit der thermodynamischen Bewegungen etwas durchschaubarer geworden.

Dr. Christian Strutz, Steigstr. 26 D-88131 LINDAU
Lindau, März 1999
Über Fragen und Kritik freut sich der Autor : email
Strutz_Christian@t-online.de


MM-Physik: Herr Strutz hat die Fragen um Mittelwert und wahrscheinlichsten Wert der Geschwindigkeitsverteilung der kinetischen Gastheorie wunderschön zusammengestellt und beantwortet viele Fragen, die meist Schulbücher unbeantwortet lassen.

Als kleine Ergänzung dazu mein etwas antiquiertes DOS-Programm, das aber unter Windows läuft: BOLTZMANN.EXE   -siehe Programme

Dort werden die Verteilungen simuliert und erzeugen nach etwas Rechenzeit obige Werte und die ideale Gasgleichung zusätzlich.
Das Programm simuliert die Stöße auf eine Wand, rechnet intern aber auf 2- und 3-dimensionale Verteilungen um, hat aber durch den nicht unendlich kleinen Simulationszeitschritt auch seine Grenzen.

oder sie benutzen den Server der Uni Potsdam

boltzman.zip 110 kB Gas-Statistik Herleitung von pV=nkT - etwas langsamer, zumindest in Südeuropa
 

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