EINEM NATURGESETZ AUF DER SPUR:

WAS HAT DAS ABKÜHLUNGSGESETZ MIT DEM WERTVERLUST EINES AUTOS UND DEM RADIOAKTIVEN ZERFALL GEMEINSAM?

von

Christian Strutz

 

 

Wir alle kennen das: Ein heißer Gegenstand - z.B. ein Bügeleisen - kühlt zunächst schnell ab, fühlt sich dann aber noch lange Zeit warm an. Es ist das Verdienst von Isaac NEWTON, hinter der kontinuierlichen Abnahme der Temperatur eine Gesetzmäßigkeit zu vermuten und nachzuweisen. Ihm zu Ehren wird es deshalb das NEWTONsche Abkühlungsgesetz genannt. Es geht um die im Laufe der Zeit immer langsamer werdende Abkühlungsgeschwindigkeit:

.

Das negative Vorzeichen bedeutet, daß die Temperatur abnimmt. Die Geschwindigkeit der Abkühlung, d.h. der Temperaturverlust -dT geteilt durch die Zeitdifferenz dt hängt nach NEWTON immer von der Differenz DT zwischen der aktuellen Temperatur des Gegenstandes T und der Umgebungstemperatur TU ab.

(1)

Der konstante Proportionalitätsfaktor k richtet sich nach den speziellen materiellen und geometrischen Gegebenheiten des Abkühlungsvorgangs. Damit die Zeitdifferenz dt allein auf der linken Seite der Gleichung (1) steht, forme ich sie um:

.

Hierbei habe ich die abhängige Variable dT mit der unabhängigen Variaben dt vertauscht. Statt zu fragen:"Um wieviel verändert sich die Temperatur nach soundsovielen Minuten?" frage ich jetzt: "Wieviel Zeit ist vergangen, wenn sich die Temperatur um soundsoviel verändert hat?" Mir leuchtet diese Fragestellung deshalb ein, weil ich meine, daß es nur dann "Zeit" gibt, wenn sich irgendwelche Materie bewegt. Deshalb können meinetwegen auch bewegte Wassermoleküle als Zeitgeber wirken.

Wenn ich den sich abkühlenden Gegenstand als eine Art Uhr auffasse, läßt sich die Gleichung (1) wie folgt integrieren:

.

Nach der Regel

liefert das unbestimmte Integral:

(2)

Weil ich die Anfangstemperatur TA zum Zeitpunkt t0 = 0 kenne, kann ich die Integrationskonstante C durch Einsetzen von 0 und TA bestimmen.

.

Jetzt kann ich das soeben berechnete C in die Gleichung (2) einfügen,

1/k ausklammern

und gemäß der Regel

die Differenz der beiden Logarithmen als Bruch darstellen:

(3)

Mit (3) habe ich eine für mein lineares Denken unbrauchbare - weil logarithmisch gehende - Abkühlungsuhr.

Um den Logarithmus loszuwerden, erhebe ich k.t , das Produkt der Konstanten k mit der Zeit t zu Exponenten einer eFunktion

.

Wenn ich aber die Temperatur T , die hier im Nenner steht, zur Zeit t schätzen will, so muß ich wieder die Variablen vertauschen: Ich bilde den Kehrbruch auf beiden Seiten der Gleichung

und erhalte schließlich die bekannte NEWTONsche Formel

(4)

Bei der Umgebungstemperatur TU gleich 0°C verkürzt sich die Gleichung (4) auf

(4a) .

Wenn ich die Anfangstemperatur TA des Gegenstandes und die Umgebungstemperatur TU kenne, so kann ich die Temperatur T zum Zeitpunkt t mit Hilfe der Gleichung (4) vorhersagen, vorausgesetzt ich kenne auch die Konstante k. Hier bin ich an einem kritischen Punkt angelangt, denn ich weiß nicht, wie groß dieses k ist.

Um näher an das k heranzukommen, mache ich einen Versuch: Ich verwende eine zu 3/4 mit Wasser gefüllte Edelstahlkaserole ohne Deckel mit einer Anfangstemperatur TA von 50°C. Die Umgebungstemperatur TU auf dem Balkon beträgt 4°C. Ich beende die fünfminütigen Temperaturmessungen nach 50 Minuten, da es zu Schneien anfängt und die Schneeflocken das warme Wasser unerwartet schnell abkühlen lassen. Die Abbildung 1 zeigt den Verlauf der Abkühlung bis zur fünfzigsten Minute und die Vorausschätzung der Temperatur für die nächsten zwei Stunden.

Abbildung 1

Die Steigung in jedem Punkt der Kurve gibt mir die jeweilige Abkühlungsgeschwindigkeit an. Der fast lineare Verlauf der Kurve im Bereich meiner Messungen darf mich nicht über die Tatsache hinwegtäuschen, daß es sich bei der Abkühlung tatsächlich um eine eFunktion handelt, wie dies die Versuchsdaten in der folgenden Tabelle bestätigen.

Versuchsdaten

 

Mittels Tabellenkalkulation berechne ich die Konstante k bei jeder Temperaturmessung nach der Formel

Als Mittelwert erhalte ich k = 0.01177 ± 0.00071. Die sehr geringe Variation mit einem Variationskoeffizienten von 6% zeigt mir, daß ich annähernd "richtig" gemessen habe.

Die Schätzformel für das Abkühlen des Wassers in der Stahlkaserole lautet demnach:

T = 4 + 46 . e -0.01177 t .

Nach 60 Minuten hätte die Wassertemperatur ohne Schneefall annähernd 27°C betragen.

Aus HAMMER (1973) entnehme ich, daß k sowohl vom Material des Gegenstands mit seiner spezifischen Wärmekapazität c und seiner Masse m als auch von der wämeabstrahlenden Fläche A mit dem Wärmeübergangskoeffizienten a in folgender Form abhängt:

.

Da ich ihn nicht kenne, ermittle ich den Wärmeübergangskoeffizienten a mit Hilfe der berechneten Konstanten k

und erhalte als Ergebnis a » 783 W m-2 K-1. Das bedeutet, daß das Wasser in der Kaserole pro Sekunde 783 mal 0.074m² gleich 58 Watt an die Umwelt abgegeben hat. Das bedeutet aber auch, daß sich die Temperatur immer um einen konstanten Anteil der noch vorhandenen Temperatur-differenz vermindert hat.

Diese Verminderung um einen konstanten Anteil erinnert mich an die geometrische Abschreibung eines Autos, wie sie bei BRONSTEIN et al. (1999) beschrieben ist. Hier lautet die Formel

(5a)

 

und gleichwertig dazu

(5b)

wobei W der aktuelle Wert und WA der Anfangswert des Autos ist. Der Faktor q ist gleich

(1 - i), wobei i eine feste Proportion bzw ein fester Prozentsatz ist. Der Gleichwertigkeit der Gleichungen (5a) und (5b) entnehme ich, daß

und

(6)

ist.

Die eFunktion mit e-kt läßt sich also ohne weiteres in eine Potenzfunktion mit qt verwandeln und umgekehrt. Die Gleichung (4) kann ich deshalb auch als Potenzfunktion formulieren:

(4b)

Nehmen wir an, wir haben heute einen Mercedes für 45 000 DM gekauft und wollen wissen, in wie vielen Jahren er bei einem jährlichen Wertverlust von i = 10% nur noch 10 000 DM wert ist. Nach Umformung der Gleichung (5a)

ist dies in 14.3 Jahren der Fall. Die Konstante k berechne ich nach der Beziehung (6) als

-ln(1 - 0.1) gleich 0.105. Aus reiner Neugierde berechne ich auch, wieviel Wert der Mercedes nach diesen Annahmen nach seinem ersten Tag verloren hat: Es sind immerhin 12.99 DM!

Gleichermaßen kann ich fragen: Nach wie vielen Jahren ist der Wert des Autos auf die Hälfte seines ursprünglichen Wertes, d.h. auf 22 500 DM geschrumpft?

Diesmal verwende ich die Gleichung (5b) und komme auf

(7)

6 Jahre und 7 Monate. Mit der Gleichung (7) habe ich respektlos die Halbwertzeit des Autos berechnet, wie sie in der Berechnung des Zerfalls radioaktiver Substanzen vorkommt. Dort heißt die Konstante k "Zerfallskonstante" und wird mit dem Buchstaben l symbolisiert. Durch Umformung der Geichung (7) komme ich auf die viel einfachere und bekanntere Formel für die Halbwertzeit:

 

(7a)

Analog zur Berechnung des radioaktiven Zerfalls kann ich auch bei der Abkühlung des Wassers und auch bei der Wertminderung des Autos mit dem Kehrwert der Konstanten k die "mittlere Lebensdauer" t schätzen. Für das Wasser ergibt sich aus t = 1 / 0.01177 die Lebensdauer der höheren Temperatur von etwa 85 Minuten und für den Mercedes der ziemlich realistische Wert von t = 1 / 0.105 » 9.5 Jahren. Wenn aber das Auto dieses Alter erreicht hat, so ist es nach (5b)

nur noch den e-ten Teil, nämlich 45 000 . 0.37 = 16 650 DM wert.

Ganz mühelos kann ich den Faktor q statt e-k in die Berechnung der Abkühlung einfügen. Im Gegensatz zum willkürlich festgelegten 10-prozentigen Wertverlust des Autos weiß ich aber noch nicht, wie groß der konstante Anteil i = 1 - q ist, um den sich die Temperatur ständig verringert.

Nach i = 1 - e-k ergibt sich i als (1 - 0.9883) = 0.0117, das sind 1.17% der jeweils vorhandenen Temperaturdifferenz. Auffällig ist die fast hundertprozentige Übereinstimmung mit der Konstanten k = 0.01177. Mit Hilfe einer Reihenentwicklung (RUNG, 1999) läßt sich zeigen: Je kleiner i gegenüber 1 ist, desto deutlicher wird die Übereinstimmung zwischen i und k. Je langsamer demnach die Abkühlungsgeschwindigkeit ist, desto eher läßt der Vorgang der Abkühlung selbst sein Prinzip der stetigen Abnahme durchblicken.

Vielleicht kann ich i mit dem Anteil schnell bewegter Wassermoleküle in einen Zusammenhang bringen. Denn dieser ist wohl für die insgesamt höhere Wassertemperatur verantwortlich. Da sich sehr viele Wassermoleküle in der Kaserole befunden haben, und diese mit Sicherheit unterschiedlich schnell waren - einige haben den Kessel sogar als Dampf verlassen - hat die Abkühlung des Wassers etwas mit der Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle zu tun.

Abbildung 2

HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN BEWEGTER MOLEKÜLE

in Abhängigkeit von unterschiedlichen Durchschnittstemperaturen

Ich stelle mir das so vor: Zu jedem Zeitpunkt verliert ein Teil der schnellsten Moleküle seine Geschwindigkeit oder verflüchtigt sich als Dampf, so daß sich, wie in der Abbildung 2 gezeigt, der Mittelwert ständig um einen festen Anteil - in unserem Fall 1.17% - vermindert.

Eines Tages will ich die Gesetze von MAXWELL und BOLTZMANN so gut kennen, daß ich sie als Bestätigung meiner Vermutung benutzen kann. Außerdem wäre es interessant zu sehen, ob die Ähnlichkeit zwischen den gezeigten Häufigkeitsverteilungen und den von der Temperatur abhängigen Kurven des PLANCKschen Strahlungsgesetzes (Abb. 3) rein zufälliger Natur sind.

Abbildung 3

Die positive Schiefe als Zeichen für logarithmische Verteilungen haben sie schon gemeinsam.

Dr. Christian Strutz, Steigstr. 26 D-88131 LINDAU
Lindau, März 1999
Über Fragen und Kritik freut sich der Autor : email
Strutz_Christian@t-online.de


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