DER LEBENSRETTER UND DAS BRECHUNGSGESETZ

von

Christian Strutz


In seiner einmaligen Art, seinen Studenten physikalische Vorgänge - so auch das Brechungsgesetz - zu erklären, verwendet Richard P. FEYNMAN (1992) in seinem Buch 'QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie' folgenden Vergleich (Abb.1 , Comics von Marion Strutz)

„Stellen Sie sich vor, Sie sitzen in der Hütte der Rettungswacht (A) und sehen, wie ein wunderschönes Mädchen in (B) ertrinkt. Sie wissen, dass Sie an Land schneller laufen (c1 = 3 m/s) als im Wasser schwimmen zu können (c2 = 0.7 m/s). So stellt sich die Frage, an welcher Stelle Sie ins Wasser müssen, um der Ertrinkenden auf schnellstem Weg zu Hilfe zu eilen. Direkt auf die Arme zuzulaufen und bei D ins Wasser zu springen, ist nicht der schnellste Weg. Selbstverständlich können Sie das Problem unter diesen Umständen nicht erst lange analysieren; aber es gibt eine Stelle (X), an der Sie mit einem Minimum an Zeit auskommen: Diese Stelle ist gewissermaßen ein Kompromiß zwischen dem direkten Weg über D und dem Weg mit dem geringsten Wasser über C. Und genau diesen Weg über einen Punkt zwischen D und C, also etwa über X, nimmt das Licht."

Ich will versuchen, diese grandiose Fähigkeit des Lebensretters und auch der Lichtstrahlen nachzurechnen. Deshalb habe ich auch gleich einigermaßen realistische Geschwindigkeiten in das Zitat eingefügt. Um möglichst nahe an der Realität zu bleiben, verwende ich keinen vorgegebenen Einfallswinkel ? sondern postiere die Hütte der Rettungswacht im Abstand a = 50m landeinwärts und berechne im Nachhinein den Einfallswinkel. Der horizontale Abstand betrage l = 110m. Von der Uferlinie aus kämpft die Ertrinkende in b = 70m Entfernung um ihr Leben. Nach Pythagoras beträgt der Abstand zwischen Lebensretter und Mädchen AB (Luftlinie)



wobei der Lebensretter schon in D ins Wasser springen müßte. Der Weg mit dem kürzesten Wasserabschnitt läuft über C und beträgt:




Irgendwo zwischen C und D befindet sich die Stelle X mit der Länge x, an der Mr. Lifeguard intuitiv richtig ins Wasser springt.

Wieviel Zeit verstreicht, um das Mädchen zu erreichen, wird durch die Relation Zeit = Weg / Geschwindigkeit offenbar: auf dem Land, dem dünneren Medium, ist tL = AX/c1 und im Wasser als dem dichteren Medium ist tW = XB/c2. Dabei handelt es sich bei den Strecken AX und XB, wie in Abb.1 zu sehen, um die Hypotenusen der rechtwinkligen Dreiecke 0AX und XCB, deren Längen das Gesetz des Pythagoras bestimmt.

(1)

Da ich - in Einklang mit dem Lebensretter - die Zeit minimieren will, brauche ich mit (2) die
erste Ableitung, um zu sehen, wie die Steigung dieser Funktion verläuft.

(2)
Ich sehe, dass und jeweils die Verhältnisse zwischen

den Gegenkatheten und den Hypotenusen sind, so daß ich diese Quotienten durch sin (a) und sin (b) ersetzen kann.

(2.1)

Mit der Substitution der Streckenverhältnisse durch den Sinus erhalte ich aber „nur" Auskunft darüber, wie sich die Winkelfunktionen und Geschwindigkeiten zueinander verhalten. Ein Minimum oder Maximum habe ich dann, wenn die Tangente an die Funktion (1) waagerecht verläuft, also wenn y' = 0 ist. Heraus kommt das Brechungsgesetz, wie es in Formelsammlungen und Physikbüchern zu finden ist:

(3)

wobei n und n' als Brechzahlen bezeichnet werden. Um sicherzugehen, daß es sich bei (3) wirklich um ein Minimum handelt, betrachte ich in Abb. 2 den Verlauf der Funktion (1) und deren Ableitungen.


Abbildung 2
DIE ZEITFUNKTION DES RETTUNGSWEGES UND IHRE ABLEITUNGEN


In der Tat: an der Stelle der x-Skala, an der sich die Funktion (1) am tiefsten senkt, durchkreuzt die erste Ableitung die x-Achse. Der x-Wert beträgt hier ungefähr 95m.Zur Klärung der Frage, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt, hätte ich natürlich auch die zweite Ableitung (4) zu Rate ziehen können. Da diese die Summe zweier positiver Werte ist, kann ich mit Sicherheit sagen, daß (4) den Wert von Null übertrifft, dass also die Zeit bei y´=0 im Minimum steht.

(4)

Der Verlauf der zweiten Ableitung in Abb.2 bestätigt dies.

Diese Informationen genügen dem Lebensretter. Mir aber genügen sie nicht, geschweige denn den Lichtstrahlen, die bekanntlich mit höchster Präzision arbeiten. Wie also komme ich an den genauen Wert von x heran? Das x aus der Gleichung (2) zu isolieren, erscheint
unmöglich, wie dies (2.2) verdeutlichen mag:

(2.2)

Mit konstanter Bosheit erscheint x auf beiden Seiten der Gleichung. Leider fällt auch der Wendepunkt der S-förmigen y'-Funktion nicht mit seiner Nullstelle zusammen, so daß eine weitere Ableitung sinnlos wäre.

Den Ausweg habe ich, glaube ich, mit NEWTONs iterativer Methode der Nullstellen-Approximation gefunden. Mit der genauen Schätzung des x-Wertes der Nullstelle der ersten Ableitung, wie sie in der Abb. 2 deutlich zu sehen ist, hätte ich mein gesuchtes X , von dem aus nach Abb.1 der Lifeguard schwimmen muß und sich die Winkel berechnen ließen.

(5)

Ich brauche also den Quotienten der ersten und der zweiten Ableitung sowie einen Anfangswert x0 in der Nähe der Nullstelle. Ich wähle x0 = 95.5 und erhalte schon nach einer (!) Iteration den ganz genauen Wert von x = 95.22026888m.

Mit diesem Wert komme ich auch auf den Einfallswinkel a und den Brechungswinkel b:

°
°

Die Wegstrecken in Metern und die unterschiedlichen Gesamtzeiten zeigt die nachfolgende Übersicht.

Zugang Land Wasser Gesamt Zeit
Luftlinie 67.8 95.0 162.8 158.3s
MinZeit 107.5 71.5 179.1 138.1s
MinWasser 120.8 70.0 190.8 140.3s

Wenn also der Lebensretter einen Kurs von 62.3° ansteuert, nach 179.1m auf die imaginäre Ufermarke von 95.2m trifft und sich dort ins Wasser wirft, um schwimmend die Ertrinkende zu erreichen, so schafft er dies in 138.1 Sekunden. Alle anderen Wege dauern länger.

Quellen

FEYNMAN, R.P. 1972: QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie.
München, Zürich.
KÜHLEIN, T. 1942: Differentialrechnung I. Mentor Repetitorien Bd. 58. Berlin.


Lindau Bodensee, März 2000
Dr. Christian Strutz, Steigstr. 26, D-88131 Lindau-Bodensee, eMail Strutz_Christian@t-online.de
 


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