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Der Mond als geworfener Apfel?
Didaktische Anmerkungen

Die Vielfalt der Bewegungsformen aufgrund des Gravitationsgesetzes bzw. geringfüge Abweichungen von diesem lassen sich am besten mit Hilfe von Rechnersimulationen aufzeigen. Dadurch können nicht nur Lösungen, für die komplizierte mathematische Berechnungen der Differential- und Integralrechnung notwendig sind, durch einfache numerische Verfahren zufriedenstellend angenähert werden, sondern auch Gedankenexperimente visualisiert werden, die zum Verständnis beitragen.
Um nun die Simulationen in den historischen Zusammenhang einzugliedern und um den Schülern/-innen durch einen möglichst großen Teil an Eigenarbeit selbstentdeckendes Lernen zu ermöglichen, wurde für dieses Lernprogramm geschrieben, welches in Kleingruppen am Computer bearbeitet werden kann. Der zeitliche Rahmen beträgt ca. 40 Minuten: 25-30 Minuten Gruppenarbeit und 10 Minuten Besprechung des Arbeitsblattes. Durch das Lernprogramm ist eine Binnendifferenzierung möglich. Die leistungsschwächeren Schüler/innen werden durch konkrete Aufgabenstellungen geführt und durch zusätzliche Hilfen unterstützt. Die leistungsstärkeren können in einem ihren Fähigkeiten entsprechenden, schnelleren Tempo vorgehen und bei den Simulationen durch Wahl anderer Anfangsbedingungen zusätzlich "experimentieren".

Newtons Mondrechnung:
Hier soll aufgrund bekannter Daten von Erdbeschleunigung g, Erdradius rE und Abstand Erde-Mond rME die Vermutung aproportional zu1/r2 aufgestellt werden. Weiterhin wird mit der Zentripetalbeschleunigung, der Winkelgeschwindigkeit und der Umlaufdauer des Mondes auf bereits erlerntes Wissen bzw. auf den eigenen Erfahrungsschatz zurückgegriffen. Da die Schüler/innen in der Regel schon Probleme haben, direkte Proportionalitäten zu erkennen, ist das Entdecken der indirekt quadratischen Proportionalität zwischen der Kraft und dem Abstand durchaus anspruchsvoll. Zu erwartende Schwierigkeiten werden durch zusätzliche Hilfen im Lernprogramm teilweise abgefangen.

Simulation der Bahnkurve
Im zweiten Teil des Lernprogramms wird durch eine Simulation überprüft, ob sich mit der Vermutung aproportional zu1/r2 die elliptischen Bahnkurven ergeben, die Kepler bereits beobachtet hat und die heute noch bei nicht relativistischer Berechnung im Zweikörperproblem die korrekte Lösung sind. Eine Simulation wäre durch Schüler/innen mit der Methode der kleinsten Schritte möglich. Das Programm selbst verwendet das Runge-Kutta-Verfahren. Mit der Simulation weicht man zwar vom historischen Weg ab, aber letztendlich hat auch Newton versucht, mit Hilfe seiner Vermutung aproportional zu1/r2 die Gesetze von Kepler (Ellipsenbahn, ...) zu beweisen. Die dazu von Newton entwickelte Differential- und Integralrechnung führt in der 11. Jahrgangsstufe zu weit. Durch den Vergleich der simulierten Bahnkurven mit Ellipsenbahnen können die Schüler/innen anschaulich die Abhängigkeit zwischen der Beschleunigung und dem Abstand Vermutung aproportional zu1/rx verifizieren oder falsifizieren. Bei der Simulation der Bahnkurve mit Fproportional zuaproportional zu1/r2 erhält man Ellipsenbahnen, also die korrekte Lösung.

Simulation Fproportional zu1/rx:
Im letzten Teil des Lernprogramms wird die Frage gestellt, ob nicht auch durch eine andere Kraft F proportional zu1/rx mit xungleich2 Ellipsenbahnen als Lösung möglich sind. Bei der Simulation sind als kleinen Abweichungen des Exponenten x1=1,8 und x2=2,2 gewählt. Um einen guten Vergleich zu den Ellipsenbahnen bei F proportional zu1/r2 zu haben, werden die Anfangsgeschwindigkeiten vorgegeben. Das Ergebnis sind Rosettenbahnen. Diese Bahnen lassen sich - besonders deutlich beim Merkur - in Form der Periheldrehung beobachten. Der Grund für die Abweichung von F proportional zu1/r2 liegt in der allgemeinen Relativitätstheorie. Da dies weit über den Lehrplan der 11. Jahrgangsstufe hinausgeht, wird es im Unterricht nicht thematisiert.

Fragen, Kritik, Lob, neue Ideen sind jederzeit herzlich willkommen. Eine kurze email genügt.

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© P. Brichzin 14.5.99
Letzte Änderung 19.5.99