ULTIMA RATIO

 Ein Versuch, NEWTONs Propositio 11 zu verstehen

 

von

 

Christian Strutz

 

 

Wenn A zu B gleich C ist und B zu D gleich E: Was ist dann A zu D? Kaum jemand von uns wäre, so wie NEWTON, in der Lage, spontan zu antworten: A zu D ist C mal E! Denn das Denken in der strikten Logik der Proportionen, wie dies offenbar die Pythagoräer taten, ist uns weitgehend abhanden gekommen. Dass man solche Verhältnis-Ketten endlos weiterführen kann, zeigt das folgende Beispiel:

 

             

Damit wird klar: mit ultima ratio ist hier nicht der bildungssprachliche Begriff des „letztmöglichen Weges“ sondern der Quotient zwischen dem ersten Zähler und dem letzten Nenner einer Reihe von Brüchen gemeint, bei welcher der nächstfolgende Bruch immer den Nenner seines Vorgängers als Zähler übernimmt.  

 

Nach dieser Einstimmung können wir uns der Propositio 11 zuwenden: Sie gilt als Kernstück Isaac NEWTONs „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ aus den Jahren 1686, .. und 1726 als dritter Auflage. Als Problema 3 war die Propositio 11 schon 1684 in der kurzen Abhandlung  „De Motu Corporum in Gyrum“ veröffentlicht und ist als handschriftliches Dokument** erhalten. Den Text und dessen Auslegung entnehme ich der Neuen Übersetzung von I.B. COHEN und A. WHITMAN (1999) sowie der Einführung in NEWTONs Principia von I.B. COHEN (1999):

 

„Ein Planet bewege sich auf einer Ellipsenbahn von P nach Q. Gesucht wird ein Gesetz, welches die auf das Zentrum im Brennpunkt der Ellipse gerichtete Kraft beschreibt...“.

Zur Erläuterung seiner weiteren Ausführungen zeigt NEWTON eine Skizze, deren Beschreibung wir nachvollziehen können.

 

 

Von P ausgehend zeichnen wir über C nach G den Durchmesser der Ellipse. Der dazu gehörende konjugierte Durchmesser DK verläuft definitionsgemäß parallel zur Tangente im Punkt P. Die Normale zu dieser Tangente trifft auf DK im rechten Winkel im Punkt F. Eine weitere Parallele zur Tangente geht von Q aus und schneidet die Strecke SP in x und den Durchmesser PG in v. Eine Parallele zu  SP durch Q schneidet die Tangente in R, so dass das Parallelogramm QxPR entsteht. Die Parallele zur Tangente durch den Punkt H, dem zweiten Brennpunkt der Ellipse, schneidet den Brennstrahl SP in I. Außerdem gelte für den Parameter L = 2p der Ellipse:     

 

Es folgt NEWTONs Behauptung, die Strecke EP sei konstant gleich der Großen Halbachse AC . Zur Überprüfung dieser Behauptung dient die nächste Abbildung.

 

 

Erklärung der Gleichung:

 

Voraussetzung ist die Grundgleichung der Ellipsen, die besagt, dass die Summe der Brennstrahlen  SP und PH das Doppelte der Großen Halbachse AC = a  ergibt.

 

 

Wir stellen fest: Die beiden Dreiecke SHI und SCE sind wegen der Parallelität von HI und CE einander ähnlich. Wenn nun die Abstände der beiden Brennpunkte vom Mittelpunkt C der Ellipse gleich sind , so müssen auch die Strecken SE und EI gleich sein . Da aber zur Komplettierung von SP nur noch ein Stück mit der Länge PH fehlt, so folgt, dass PH und PI gleich sein müssen: . 

 

 

Damit ist schon der verblüffend einfache Beweis für die Ellipsenform der Planetenbahn gegeben, vorausgesetzt, es lässt sich ein messbarer Unterschied zwischen Aphel und Perihel feststellen.

 

Aber NEWTONs Beweisführung geht viel weiter: Er wird anhand des Parameters L zeigen, dass sich alle Himmelskörper , deren Bahnen von einer Zentralkaft abgelenkt werden, auf Kegelschnitten, also auf Ellipsen, Kreisen, Parabeln und Hyperbeln, bewegen, wobei diese Kraft mit dem umgekehrten Quadrat der Entfernung von der Zentralmasse abnimmt.

 

Zunächst formuliert NEWTON die erste für die ultima ratio notwendige Gleichung:

 

(1)                  

 

Erklärung der Gleichung (1):

 

Voraussetzung für die erste Bestimmungsgleichung (1) ist die Ähnlichkeit zwischen den Dreiecken Pxv und PEC, welche dadurch gegeben ist, dass Pxv ein Teil von PEC ist und dass xv parallel zu EC verläuft. Außerdem macht NEWTON davon Gebrauch, dass EP gleich AC ist und QR aufgrund des Parallelogramms QxPR gleich Px ist.

 

Die Gleichung (2) erscheint etwas trivial,

 

(2)                              

 

denn bei Pv im Zähler und Nenner bleibt uns nichts anderes als diese Größe zu kürzen. In der nächsten Gleichung (3) brauchen wir aber das Produkt der Teilstücke Gv und Pv des Durchmessers PG und in der ultima ratio den Quotienten, um den Faktor 2 zu erhalten und CB2  wegkürzen zu können.

 

Ein „Brummer“ ganz anderen Formats ist die Gleichung (3), die wohl aus der Lehre über die Kegelschnitte des Apollonius von Pergae stammt: Das Produkt aus Gv und vP zum Quadrat der Ordinate Qv sei gleich dem Quotienten aus dem Quadrat des halben Durchmessers PC und dem Quadrat des halben konjugierten Durchmessers CD.

 

(3)                              

 

Zur Herleitung dieses kompliziert anmutenden Zusammenhangs zeichnen wir eine Tangente durch Q und verlängern CD, um den Schnittpunkt t bzw. CP, um den Schnittpunkt T zu erhalten. Von Q aus zeichnen wir die Parallele zu CP, die CD in u und die Parallele zu CD, die CP in v schneidet.    

 

Erklärung der Gleichung (3):

 

Es bildet sich das Parallelogramm CvQu mit der Konsequenz, dass Cu gleich Qv und Cv gleich Qu ist. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke Cuv und CDP folgt:

 

(3.1)   

(3.2)    , so dass der Quotient

(3.3)    ergibt.

 

Außerdem sind auch die Dreiecke CtT und vQT einander ähnlich, so dass

 

(3.4)    und somit

(3.5)   

Aus der Zeichnung entnehmen wir, dass

 

(3.6)    und

 

Umgeformt ergibt der Zähler von (3.5) unter Verwendung von

 

(3.7)   

(3.8)   

 

Weil der Mittelpunkt C den Durchmesser PG in zwei gleiche Hälften teilt, ist CP gleich CG. Daraus folgt, dass  und , so dass . So bekommt schließlich die Gleichung (3.5) die Form

 

(3)      

 

Nun kommt ein bedeutsamer Schritt: Statt mit Qv2 weiterzurechnen, nimmt NEWTON Qx2, von dem er behauptet, dass es im Moment des Auftreffens von Q auf P gleich Qv2 sei.


 

Es folgt die Gleichung (4) in zwei Etappen, zunächst aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke PEF und QxT.

Erklärung der Gleichung (4a):

 

 

Diese Ähnlichkeit ist gegeben durch die rechten Winkel bei F und T und die Tatsache, dass die beiden Winkel FEP und QxT gleich sind, weil sowohl EF und Qx als auch EP und Tx als Teilstrecke von EP zueinander parallel stehen.        

 

(4.1)    wegen EP = AC ; quadriert ergibt das

(4.2)   

 

In der zweiten Etappe der Erklärung der Gleichung (4) handelt es sich um die Anwendung der Regel, dass alle Berührungsparallelogramme einer Ellipse die gleiche Fläche haben.


 

Erklärung der Gleichung (4b):

 

 

 

 

Voraussetzungen sind, dass  und dass , so dass daraus die ganze Sequenz der Gleichung (4.3) folgen kann:

 

(4.3)   

 

Insgesamt haben wir es also mit vier Gleichungen in Form von Verhältnissen zu tun, wobei, wie im anfänglichen Beispiel, der nächstfolgende Bruch immer den Nenner seines Vorgängers als Zähler übernimmt.

 

(1)      

 

(2)               

 

(3)              

           

(4)                   

 

Analog zum Beispiel in der Einleitung und der Methode NEWTONs folgend lautet die ultima ratio:

 

(5)                  

                       

Nun kommt das Entscheidende: Von den letzten beiden Quotienten behauptet NEWTON, dass sie gleich 1 seien, dass also  und , wenn die Distanz zwischen P und Q unendlich klein geworden sei. Um dies zu überprüfen, machen wir ein Experiment:

 

Wir lassen den Abstand zwischen Q und P nach NEWTONs Vorschrift tatsächlich immer kleiner werden und berechnen mittels Tabellenkalkuation die Werte von Qx2/Qv2, und , die jeweils den Wert von 1 erhalten müssten.

 

 

Mit der großen Halbachse a = 8, der kleinen Halbachse b = 6 und  L = 9.0  bestätigt dies die folgende Tabelle.


 

Effekt der Näherung des Punktes Q an den Punkt P (7.0|2.9)

 

 

Was ist geschehen? Ganz offensichtlich haben sich bei der Näherung von Q an P die Proportionen zwischen QT2 und QR derart verändert, dass sie als Quotient auf den Wert 1 zugestrebt sind. Bei  a = b = p, also einer Kreisbahn, beträgt dieser Grenzwert ebenfalls 1.

 

So trägt der Quotient zwischen QT2 und QR im Moment des Zusammentreffens der Punkte P und Q die Information über die Form L der Bahn, denn

 

(5a)                            

 

Aber die Geschichte ist noch nicht am Ende, denn jetzt kommt der Bezug zum Entfernungsquadratgesetz. Dazu betrachten wir nochmals die Ellipse; diesmal den Sektor SPQ. Mit unserer schon geschärften Phantasie können wir sagen, dass es sich, wenn P und Q ganz nahe beieinander liegen, um ein Dreieck handelt, dessen Höhe QT beträgt, wobei die Krümmung zwischen P und Q gerade im Begriff ist zu entstehen.

 

           

Die Fläche dieses als ganz winzig gedachten Dreiecks beträgt also , deren Größe natürlich von der zu ihrer Bildung durch die Planetenbewegung benötigten Zeit Dt abhängt.

 

(6)                  

 

Andererseits bedeutet die durch die Kraft F der Zentralmasse in S erzwungene Richtungsänderung, die in der Strecke QR ihren Ausdruck findet, eine Beschleunigung, die sich nach GALLILEI umgekehrt proportional zum Quadrat der dazu benötigten Zeit verhält.

 

(7)                  

 

(6) in (7) eingesetzt ergibt die Proportionalität  wobei wir aus (5a) wissen, dass  der Kehrwert des Bahnparameters   beträgt. Dies ergibt  Als konstanter Bahnparameter nimmt aber L nicht an der Variation von  F und  SP2  teil, darf also weggelassen werden, so dass

 

(8)                  

 

Die letzte Formel (8) bringt schließlich zum Ausdruck, dass die Kraft, die einen Planeten von einer geradlinigen Inertialbahn ablenkt, sich umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes vom Ursprung dieser Kraft verhält. Damit ist der Weg frei für NEWTONs Gravitationsgesetz, welches vor allem auch diesen Zusammenhang zum Inhalt hat.

 

Quellen:

 

NEWTON, I. 1726: The Principia. Mathematical Principles of Natural Philosophy. A New    Translation by I. Bernard Cohen and Anne Whitman; assisted by Julia Budenz.   Preceded by A Guide to Newton’s Principia. by I. Bernard Cohen. Univ. of            California Press, Berkeley, Los Angeles, London. (1999).

 

Der Autor dankt Herrn Prof. Dr. Jürgen Ehlers vom Max Planck Institut für Gravitationsforschung (Albert Einstein Institut) in Potsdam für seinen freundlichen Hinweis auf diese Quellen und seine Anregung, NEWTONs Texte genau zu lesen.


Anhang

  Dr. Christian Strutz, Steigstr. 26 D-88131 LINDAU
Lindau, März 1999
Über Fragen und Kritik freut sich der Autor : email
Strutz_Christian@t-online.de


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