BESTIMMUNG VON NULLSTELLEN MIT TABELLENKALKULATION

IN ANWENDUNG DES NEWTONSCHEN NÄHERUNGSVERFAHRENS

von

Christian Strutz

 

Einleitung

Fast unbemerkt hat in den letzten Jahren eine Revolution der Computertechnik stattgefunden. War es noch vor zehn Jahren ein Privileg, einen Personal Computer (PC) zu besitzen, der mit einer Festplatte mit 20-30 Megabyte Speicherkapazität ausgestattet war, so ist es heute nichts besonderes mehr, einen hochfrequenten PC mit mehreren Gigabyte auf der Festplatte zu haben. In vielen Büros und Haushalten befinden sich deshalb ungeahnt riesige Computerkapazitäten, die wir für unsere eigene Kreativität nutzen könnten.

Der vorliegende Beitrag will zeigen, daß jeder Anwender eines zeitgemäßen Personal Computers, der über ein Programm mit Tabellenkalkulation (z.B. LOTUS 1-2-3™, EXCEL™, WORKS™) verfügt, ohne Programmier- und Zeitaufwand mit höchster Genauigkeit das NEWTONsche Verfahren der Nullstellen-Approximation einsetzen kann, wie dies früher nur den Rechenzentren vorbehalten war.

Somit ist es jedem, besonders aber Studenten der Kollegstufe möglich, ein durchschaubares System einer automatisierten Kurvendiskussion höherer Polynome selbst zu entwickeln. Denn wichtiger als das Ergebnis ist für den denkenden Menschen der Weg dorthin.

Soft- und Hardware

Die Entwicklung und Anwendung der Algorithmen erfolgt in LOTUS 1-2-3™, Version 2.3 (1988). Da die übrigen Programme mit Tabellenkalkuation die Konzeption von LOTUS zur Basis haben, besteht der Vorteil, daß die einmal in LOTUS geschriebenen Formeln für EXCEL™ und WORKS™ jeder Version kompatibel sind.

Die Central Processing Unit war ein Pentium™ 100 MHz Prozessor mit 8 Megabyte Random Access Memory. Zum Zeitvergleich wurde auch ein 486er Laptop Computer verwendet. Mit beiden Systemen wurde das erstellte Spreadsheet auch von einer Diskette aus gelesen: in keiner der 4 Varianten zeigte sich ein wahrnehmbarer Unterschied in der Rechnergeschwindigkeit, d.h. der Zeitunterschied zwischen Dateneingabe und -ausgabe war geringer als eine Sekunde.

Das NEWTONsche Verfahren der Nullstellen-Approximation

Für Lösungen, d.h. Wurzeln oder Nullstellen, von Gleichungen höheren Grades als des dritten kommt nach KÜHLEIN (1942) zunächst nur das zeichnerische Verfahren, ausgehend von einer graphischen Darstellung einer Funktion, in Betracht. Wegen der geringen Genauigkeit von Zeichnungen ist es aber notwendig, die aus dem Graph abgelesenen Werte der Nullstellen zu korrigieren. Ein sehr wirksames Verfahren hierfür hat, wie es KÜHLEIN (1942) in seinem Repetitorium beschreibt, Isaac NEWTON entwickelt.

Als Beispiel verwenden wir das auch mit einfachen Mitteln zu lösende Polynom 3. Grades

y = x3/6 - x2/3 - 6x , dessen Graph als Funktion und 1. Ableitung in der Abbildung 1 zu sehen ist.

Abbildung 1

Darstellung der Funktionen

Der Verlauf der Kurve zeigt eine Nullstelle in der Nähe des Abszissenwertes -6, ein relatives Maximum etwa bei -3, entsprechend einer Nullstelle der ersten Ableitung, eine zweite Nullstelle im Nullpunkt, ein relatives Minimum zwischen 4 und 5 und eine dritte Nullstelle in der Nähe von 7.

Aus der Wertetabelle entnehmen wir, daß die Ordinate des Punktes P1 positiv, die des Punktes Q negativ ist. Also befindet sich die Nullstelle N3 zwischen P und Q. Zur genaueren Untersuchung fertigen wir eine Detailzeichnung an (Abbildung 2). In P1( 9; 40.5) zeichnen wir an die Kurve die Tangente P1B mit der Steigung y' = 28.5.

 

Abbildung 2

Detail der Funktion

Die Steigung der Tangente in diesem Punkt finden wir einerseits geometrisch durch das Streckenverhältnis AP1/BA, andererseits algebraisch durch die erste Ableitung der Funktion in dem Punkt P1.

.

Die Auflösung dieser Gleichung nach d1 zeigt, daß der Abstand zwischen den Schnittpunkten A und B gleich dem Quotienten zwischen dem Ordinatenwert und der Steigung in dem Punkt P1 ist.

 

Subtrahieren wir die Strecke d1 von x1, so erhalten wir den Abszissenwert x2,

der schon erheblich näher an der gesuchten Nullstelle liegt als x1.

Senkrecht über B befindet sich der Schnittpunkt P2 mit den Koordinaten (x2;y2), an den wir wiederum zur weiteren Näherung eine Tangente legen und so weiter...

Diesen wiederholten Vorgang, Iteration genannt, können wir - theoretisch - beliebig lang fortgesetzen, je nach dem, auf wieviele Kommastellen genau wir die Nullstelle schätzen wollen.

Wenn wir bedenken, daß die x-Werte der Maxima und Minima ebenfalls Nullstellen der 1. Ableitung und die Wendepunkte Nullstellen der 2. Ableitung sind, so erschließt sich uns mit der NEWTONschen Approximation fast die gesamte Kurvendiskussion einer Gleichung höheren Grades.

Nullstellen-Approximation mittels Tabellenkalkulation

Voraussetzung für diese Serie von Berechnungen ist es, daß, ausgehend von einem Anfangswert X, der sich in der Nähe der Nullstelle befindet, der jeweils folgende Schätzwert mit Hilfe des vorausgehenden Abszissenwertes berechnet wird.

Für die diese Art der Berechnungen ist die Tabellenkalkulation bestens geeignet, denn wir können mathematische Beziehungen zwischen einzelnen Zellen mit den Koordinaten A,B,C...(Spalte) |1,2,3...(Zeile) herstellen. Das einfachste Beispiel einer Iteration ist die senkrechte Zahlenreihe 1,2,3..., wie wir sie für die Erstellung einer Grafik brauchen.

Zu beachten ist, daß in den Zellen nur die berechneten Werte zu sehen sind. Die Formeln, nach denen diese Werte berechnet werden, sind nur im oberen Display des Bildschirms sichtbar.

Der Vorteil der Tabellenkalkulation besteht darin, daß, wie in dem gezeigten Beispiel, wir die Formel =A1+1 nur einmal in der Zelle A2 eingeben müssen, um sie dann entlang der Spalte A herunterzukopieren. Der relative Bezug auf die nächstobere Zelle hat zur Folge, daß die Berechnung der Formel erst dann erfolgt, wenn die Berechnung des nächstoberen Wertes abgeschlossen ist. Genau dieses Verfahren brauchen wir für die Approximation von Nullstellen.

Wir erstellen ein Spreadsheet zur iterativen Bestimmung von Nullstellen in Polynomen bis zum 7. Grad, in welchem sich die Koeffizienten A bis H als absolute Referenzen befinden. In den Formeln hat das $-Zeichen vor den Koeffizienten die Wirkung, daß sie beim Herunterkopieren immer gleichbleiben. Für unser Beispiel sieht das so aus:

Die Formel für die Nullstellen einer Funktion hat dann folgendes Aussehen:

...,

was nichts anderes bedeutet als x2 = x1 - y1/y'1 . "X" ist der Name für einen frei zu wählenden Abszissenwert (seed value). In der Folge, entlang der Spalte, bezieht sich aber das X jeweils auf den berechneten Abszissenwert der nächstoberen Zelle. Dabei ist zu bedenken, daß pro Zelle 11 Potenzierungen, 14 Multiplikationen und 16 Additionen abgelaufen sein müssen, bevor der Wert der nächsten, darunter gelegenen Zelle berechnet wird. So können wir beliebig viele - in unserem Beispiel 50 - Iterationen herunterkopieren. Die Tabelle 1 zeigt einen Ausschnitt dieser Iterationen.

Tabelle 1

Ausschnitt aus der Werte- und Iterationstabelle

 

Das Beispiel zeigt, daß bei einem seed value X = 9 bereits 5 Iterationen ausreichen, um die x-Werte der Nullstelle N3, des relativen Minimums und des Wendepunktes mit einer Stellengenauigkeit von 9 Stellen nach dem Komma zu schätzen.

Die Wertetabelle mit den Überschriften X,Y,Y' und Y" dient zur graphischen Darstellung der Funktion und deren erster und zweiter Ableitung im Bereich -10 bis +10. So können wir sehen, wo sich in etwa die Nullstellen befinden (Abb.1), um einen in der Nähe befindlichen x-Wert als seed value einzugeben.

Die Eingabe dieses x-Wertes sowie die ermittelten Abszissen- und die vom Computer berechneten Ordinatenwerte projezieren wir schließlich auf eine optisch gefällige Tabelle. So entsteht - wie bei anderen Programmen - der Eindruck, daß zwischen der Eingabe einer Zahl und der Ausgabe der Ergebnisse nur ein Tastendruck liegt (Tab.2).

Tabelle 2

Darstellung von Ein- und Ausgabe

Wir aber können jetzt abschätzen, wieviele Rechenschritte dazwischen liegen, obwohl sie unser Computer in weitaus weniger als einer Sekunde erledigt.

Anwendungsbeispiel

Um zu sehen, wie wirksam die NEWTONsche Methode der Nullstellen-Approximation ist, untersuchen wir das Polynom dritten Grades y = 2.953x3 - x2 + 3.613*10-8x - 3.126*10-16, dessen graphische Darstellung in Abbildung 3 erscheint.

Abbildung 3

Darstellung der Funktion

 

Es handelt sich bei dieser Gleichung um die Formel,

mit a = 2GM/c2 = 2.953 km; B2 = GM.p = 7.37.1018 km4/s2 ; A = -GM/2a = -1150 km2/s2

die EINSTEIN (1915) verwendet hat, um die Periheldrehung des Merkur zu berechnen. Wie wir der Abbildung 3 entnehmen, hat die Funktion ein relatives Maximum nahe am Nullpunkt, wobei die Kurve die x-Achse von unten her zu berühren scheint, einen Wendepunkt in der Nähe von 0.1, ein Minimum in der Gegend von 0.2 und eine Nullstelle bei 0.3 .

Zur Bestätigung unserer Beobachtung geben wir als Anfangswert X = 0 ein und stellen zu unserem Erstaunen fest, daß uns das Programm eine Nullstelle N1 bei x = 1.435*10-8 ausweist. Das Maximum befindet sich bei 1.8067*10-8 und der Wendepunkt bei 0.1129. Selbst wenn wir den X-Wert unsinnig stark verändern, z.B. auf -10 000 000, bedarf es nur einiger weniger Iterationsschritte mehr, um wieder bei den selben Werten zu landen.

Da sich offenbar das Maximum oberhalb der x-Achse befindet, der Wendepunkt aber unterhalb der x-Achse steht, bedeutet dies, daß es eine zweite Nullstelle zwischen dem Maximum und dem Wendepunkt geben muß. Wir geben also als weiteren Anfangswert den x-Wert des Wendepunktes ein und treffen - in der Tat - auf die Nullstelle N2 bei 2.1786*10-8. Erst eine 10-millionenfache Vergrößerung der ursprüglichen Skala zeigt uns graphisch dieses Detail (Abb. 3 unten). Wie sich herausstellt, handelt es sich bei den beiden Nullstellen N1 und N2 um die Kehrwerte des maximalen (a1) und minimalen (a2) Abstandes des Planeten Merkur von der Sonne.

Dies bedeutet, daß die NEWTONsche Methode nicht nur den Augenschein bestätigt, sondern so genau ist, daß sie uns sogar eine ultramikroskopische Untersuchung einer Funktion liefert.

Zusammenfassung

Der vorliegende Beitrag zeigt, daß jeder Anwender eines zeitgemäßen Personal Computers, der über ein Programm mit Tabellenkalkulation (z.B. LOTUS 1-2-3™, EXCEL™, WORKS™) verfügt, ohne Programmier- und Zeitaufwand und ohne Horner-Schema mit höchster Präzision das NEWTONsche Verfahren der Nullstellen-Approximation einsetzen kann, wie dies früher nur einem Rechenzentrum vorbehalten war.

Literatur

EINSTEIN, A.1915: Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Sitzgsber.d.preuß. Akad.d.Wiss. 1915, 831-839.

KÜHLEIN, T. 1942: Differential-Rechnung I. Mentor Repetitorien Bd. 58. Berlin.

 

  Dr. Christian Strutz, Steigstr. 26 D-88131 LINDAU
Lindau, März 1999
Über Fragen und Kritik freut sich der Autor : email
Strutz_Christian@t-online.de


Mechanik Akustik Elektrik Optik Quanten Kerne Relativität Konstanten
Gravitation Rotation Wellen Geophysik Klima science Medizin Verkehr

Interaktiv-JAVA

Experimente

Online-Kurse 

Schule

Institute

Museen

news

topten

Geschichte Physiker MSR jufo Philosophie Mathe Klima Astronomie
Physlets Versuche Aufgaben Didaktik Literatur Kontakt Neues

Sucher

Programme Schülerhilfen scripten  Pisa Lehrmittel Projekte Aktuelles homepage


WWW.SCHULPHYSIK.DE

www.physiker.com
MM-Physik-ZUM
MM-Physik-Würzburg-Online

09. März 2005 © Schulphysik - privat

Impressum - Disclaimer - Awards