Stefan- Boltzmann- Gesetz


Summiert man das Planck- Strahlungsgesetz über alle Wellenlängen und über die gesamte strahlende Fläche, so erhält man die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers, die Stefan- Boltzmann empirisch und klassisch fanden:

Stefan- Boltzmann Gesetz 

dabei sind  sigma = 5.6703 * 10^-8 W / ( m^2 *K^4)  Stefan- Boltzmann- Konstante
und  A = abstrahlende Fläche, T = Strahleroberflächentemperatur in K (Grad Kelvin)

T(heiß)= C K
T( kalt) = C K
Emissionsgrad e = (1 für idealen schwarzen Körper, 0 für 100% isolierten, spiegelnden Körper)
Abstrahlende Fläche = x 10^ m^2

Strahlungsleistung x 10^ W


Dazu rechnen wir einige Aufgaben:

A) Das Sonnenspektrum hat im grünen Licht sein Maximum lambda=500 nm - mit Hilfe des Spektralapplets finden wir die Oberflächentemperatur der Sonne zu etwa 5800 K (Wir setzen Farb- und Effektiv- Temperatur näherungsweise gleich). Wir geben nun die 5800 K ins Rechenscript ein, ergänzen als Umgebungstemperatur 3 K (leerer Raum), betrachten die Sonne als idealen Abstrahler epsilon =1 und rechnen die Fläche zunächst separat aus:
Oberfläche von A = 4 * pi * R^2 = 4*pi*(692000km)^2 =6 *10^18 m^2 und setzen ein:
Die Sonne hat eine Strahlungleistung von P =3.8 10^26 W

B) Der Mensch strahlt (schwarz idealisiert) mit 2.5 m^2 Oberfläche bei T = 32 Celsius an einem Frosttag T=0 C
440 W ab. Kleidung vor allem helle Kleidung vermindere epsilon von 100% auf 50%, dann sind es nur noch 220 W.
Diese Leistung gehört zum Grundumsatz und muss auch bei absoluter Arbeitsfaulheit vom Körper aufgebracht werden.

Sie sehen der Isolations- und Oberflächen- Faktor Epsilon verändert einiges. Dies führt zu Unsicherheiten nicht nur bei der Hausisolation sondern auch zur Rolle der isolierenden Wolkenschicht der Erde beim Treibhauseffekt.

C) Auf Höhe der Erdbahn verteilt sich die Strahlungsleistung der Sonne auf eine Kugeloberfläche von 4*pi*r^2, wobei r=1AU=1AE der Abstand Erde-Sonne wird. Mit r=1.496*10^11m folgt A = 2.81 * 10^23 m^2. Die Leistung der Sonne P = 3.8 * 10^26 W verteilt sich auf diese Fläche und wir erhalten die Leistung der auf die Erde einfallenden Strahlung pro Quadratmeter, S = P/A = 1,4 kW pro m^2 , die Solarkonstante.

D) Für eine erste grobe Abschätzung der Erdoberflächentemperatur betrachten wir diese auch als ideal absorbierenden - und ideal abstrahlenden Körper:
Einerseits kommen von der Sonne S * pi * R^2 auf den Querschnitt der Erde, andererseits strahlt diese über die gesamte Oberfläche wieder ab 4*pi*R^2*sigma*T^4. Im Gleichgewicht das sich sein Tausenden von Jahren eingespielt hat gilt
S*pi*R^2 = 4*pi*R^2*sigma*T^4 oder T = (S/4/sigma)^1/4 = 279 K oder 6 Grad Celsius - eine erstaunlich gute Näherung an die gemessenen Werte von um die 15 Grad Celsius. Allerdings ist die Schwarzkörpernäherung anders als bei der Sonne für die Erde nicht haltbar, wird doch einiges an Sonnenleistung reflektiert, allerdings auch Einiges weniger abgestrahlt. Dabei spielen Eisflächen, Wolken die dominante Rolle. Es kommt auch zum Treibhauseffekt, der weniger von Spurengasen oder CO2 als vielmehr von Wasserdampf und Wolken dominiert wird. Siehe auch Klima und Unterseiten.