Zur Gesamt- Energie
Abstrahlung warmer Körper

an eine kältere Umgebung

24. Februar 2002 © Schulphysik">email: Schulphysik


Ob Sonne oder Mensch, beide strahlen als schwarze Körper idealisiert nach dem gleichen Gesetz.

Plancksches Gesetz

Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die spektrale Intensitätsdichte I(lamda, T) für schwarze
Strahler (Idealabstrahler) in W/m^2 1/m

:Dieses Gesetz gilt recht genau für Sterne (Sonnen) mit verschiedener Oberflächentemperaturen. Unsere Sonne strahlt bei etwa 6000 K, A-Sterne wie Sirius mit 10 000 K und rote Riesen mit 3000-4000 K. Dies hat zur Folge, dass Sterne in weisser Farbe, blauweiss und gelb-rot erscheinen. Man kann der Farbe eines Sternes eine Farbtemperatur zuschreiben, die in etwa seiner Oberflächentemperatur entspricht.
Das abgestrahlte Spektrum wird schön durch ein Java-Applet
von Wolfgang Christian, Mike Lee, und Ansel Singer-Barnum vom Davidson College verdeutlicht:

Ändere die Temperatur T = K


Sie können die Temperatur entweder numerisch eingeben, oder auf das Spektrum klicken und das Wellenlängenmaximum verschieben. lamda(max)*T = const - Wiensches Verschiebungsgesetz. Mit steigender Temperatur erhöht sich die Strahung mit der vierten Potenz, was durch automatische Skalierung der y-Achse unterdrückt wird. Das Maximum des Spektrums wandert mit steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen ins Blaue und umgekehrt.

Stefan-Boltzmann- Gesetz

Summiert man über alle Wellenlängen, so erhält mam die gesamte Intensität der Strahlung eines warmen Körpers,
integriert man noch über die gesamte strahlende Oberfläche, so erhalten wir das Gesetz

das Stefan-Boltzmann Gesetz für die gesamte
Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers
in W = J/s

mit sigma = 5,6703 * 10^-8 W/m^2/K^4 Stefan-Boltzmann-Konstante
mit A = abstrahlende Fläche, T = Strahleroberflächentemperatur in K (Grad Kelvin)

T(heiss)= C K
T( kalt) = C K
Emissionsgrad e = (1 für idealen schwarzen Körper, 0 für 100% isolierten(spiegelnden) Körper)
Abstrahlende Fläche = x 10^ m^2

Strahlungsleistung = x 10^ W


Dazu rechnen wir einige Aufgaben:

A) Das Sonnenspektrum hat im grünen Licht sein Maximum lambda=500 nm - mit Hilfe des Spektralapplets finden wir die Oberflächentemperatur der Sonne zu etwa 5800 K (Wir setzen Farb- und Effektiv- Temperatur näherungsweise gleich). Wir geben nun die 5800 K ins Rechenscript ein, ergänzen als Umgebungstemperatur 3 K (leerer Raum), betrachten die Sonne als idealen Abstrahler epsilon =1 und rechnen die Fläche zunächst separat aus:
Oberfläche von A = 4 * pi * R^2 = 4*pi*(692000km)^2 =6 *10^18 m^2 und setzen ein:
Die Sonne hat eine Strahlungsleistung von P =3.8 10^26 W

B) Der Mensch strahlt (schwarz idealisiert) mit 2.5 m^2 Oberfläche bei T = 32 Celsius an einem Frosttag T=0 C
440 W ab. Kleidung vor allem helle Kleidung vermindere epsilon von 100% auf 50%, dann sind es nur noch 220 W.
Diese Leistung gehört zum Grundumsatz und muss auch bei absoluter Arbeitsfaulheit vom Körper aufgebracht werden.

Sie sehen der Isolations- und Oberflächen- Faktor Epsilon verändert einiges. Dies führt zu Unsicherheiten nicht nur bei der Hausisolation sondern auch zur Rolle der isolierenden Wolkenschicht der Erde beim Treibhauseffekt.

C) Auf Höhe der Erdbahn verteilt sich die Strahlungsleistung der Sonne auf eine Kugeloberfläche von 4*pi*r^2, wobei r=1AU=1AE der Abstand Erde-Sonne wird. Mit r=1.496*10^11m folgt A = 2.81 * 10^23 m^2. Die Leistung der Sonne P = 3.8 * 10^26 W verteilt sich auf diese Fläche und wir erhalten die Leistung der auf die Erde einfallenden Strahlung pro Quadratmeter, S = P/A = 1,4 kW pro m^2 , die Solarkonstante.

D) Für eine erste grobe Abschätzung der Erdoberflächentemperatur betrachten wir diese auch als ideal absorbierenden - und ideal abstrahlenden Körper:
Einerseits kommen von der Sonne S * pi * R^2 auf den Querschnitt der Erde, andererseits strahlt diese über die gesamte Oberfläche wieder ab 4*pi*R^2*sigma*T^4. Im Gleichgewicht das sich sein tausenden von Jahren eingespielt hat gilt
S*pi*R^2 = 4*pi*R^2*sigma*T^4 oder T = (S/4/sigma)^1/4 = 279 K oder 6 Grad Celsius - eine erstaunlich gute Näherung an die gemessenen Werte von um die 15 Grad Celsius. Allerdings ist die Schwarzkörpernäherung anders als bei der Sonne für die Erde nicht haltbar, wird doch einiges an Sonnenleistung reflektiert, allerdings auch Einiges weniger abgestrahlt. Dabei spielen Eisflächen, Wolken die dominante Rolle. Es kommt auch zum Treibhauseffekt, der weniger von Spurengasen oder CO2 als vielmehr von Wasserdampf und Wolken dominiert wird. Siehe auch Klima und Unterseiten.

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A Simple Greenhouse Climate Model by Steve Ackerman and Tom Whittaker

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