Brechung des Lichtes an einer sphärischen Fläche

Wegen der angesprochenen Probleme mit den Hauptebenen (siehe Tipps) habe ich mich entschlossen, den Strahlenverlauf durch eine Linse auch über das Snelliusche Brechungsgesetz, das schon in 'Totalreflexion' und 'planparallele Platte' verwendet wurde, zu zeigen:

vom Harri-Deutsch Verlag großzügigerweise zur Verfügung gestellt

wobei wie beim Applet zur Totalreflexion u1, n1 und n2 bekannt sind und u2 wieder wie folgt berechnet wird:

Der Unterschied zum Totalreflexion-Applet liegt darin, dass die Winkel von der sog. Normalen gemessen werden. Die Normale ist die Verlängerung des Radius durch den Auftrittspunkt des Lichts T (vgl. Zeichnung).


Diese Lösung hat gegenüber der mit den Hauptebenen mehrere Vorteile:

• Es können alle Linsenarten (also auch konkave) berechnet werden.
• Es kann der Übergang von jedem Material in jedes Material berechnet werden (muss außen also nicht zwangsläufig Luft sein wie in der Hauptebenen-Lösung).
• Linsenfehler werden mit beachtet, das Ergebnis ist also exakter.
• Die gesamte Konstruktion ist einfacher und es ist somit eher möglich die Brechung an mehr als 2 Kugelflächen zu zeigen, indem man den Quelltext kopiert (siehe LINSENSYSTEM).

Um die Brennweite der Kugelfläche (von den Scheitelpunkten gemessen) zu berechnen bedarf es einer weiteren Formel:

                       

wobei hier bei den Vorzeichen folgendes zu beachten ist:
Aus der Formel geht direkt hervor, dass f1 und f2 das gleiche Vorzeichen haben müssen, weil sie sich nur im Zähler in n1 und n2, welche ja beide positiv sein müssen (wenn -n1 = n2 würde es zu Reflexion kommen - wird hier aber nicht benötigt) unterscheiden. Jetzt lege ich folgendes fest:
Wenn f1 und f2 positiv sind, ist f1 die objektseitige Brennweite (im Applet also links) und f2 die bildseitige. Sind f1 und f2 negativ, so ist f1 die bildseitige Brennweite (also rechts) und f2 die objektseitige.

Wenn man auf die Kugelfläche im Applet einen zur optischen Achse parallelen Strahl fallen lässt, erkennt man den bildseitigen Brennpunkt. Lässt man den Strahl so auftreffen, dass er die Kugelfläche parallel zur opt. Achse verlässt kennt man den bildseitige Brennpunkt. Diese Entfernungen werden in dem Applet links unten mit „f1 =" und „f2 =" angezeigt.
Diese Werte sind über die oben gezeigten Formeln berechnet. Weil es jedoch nicht so einfach ist die Brennpunkte grafisch in das Applet einzuzeichnen (nicht nur die Brennpunkte selbst können links oder rechts liegen, sondern auch die Scheitelpunkte sind vom Vorzeichen des Radius abhängig !), habe ich das bis jetzt noch nicht geschafft.


Hinweise zum Arbeiten mit dem Applet:

• Es lassen sich die Punkte i_Tli, i_T, i_S und P1 (links von i_S auf der optischen Achse) verschieben.



• Die Kugelfläche ist links von ihrem Mittelpunkt i_M, wenn der Radius positiv ist.



• i_Gs und i_Bs sind die Schnittpunkte der beiden Lichtstrahlen mit der optische Achse, wobei i_Gs der objektseitige und i_Bs der bildseitige Schnittpunkt ist. Wenn i_Gs links von der Linse liegt ist der Wert rechts unten im Applet positiv. Der andere Wert rechts unten wird positiv wenn i_Bs rechts von der Linse liegt.



• die berechneten Werte sind nahezu perfekt exakt, weil die Linsenfehler mitbeachtet werden. Die einzige Abweichung besteht jetzt noch darin, dass der Weg des Lichts nicht ausschließlich durch ‘Linien’ dargestellte werden darf (wie es in der geometrischen Optik üblich ist), wenn das Ergebnis wirklich ganz exakt sein muss. Dann kommt es nämlich wegen der (in der geometrischen Optik mehr auftretenden) Welleneigenschaft des Lichtes zu weiteren Abweichungen. Auf diese Abweichungen will ich hier nicht weiter eingehen, weil diese Abweichungen wohl nur für ein paar wenige große Firmen eine Rolle spielen.



• die berechneten Werte gelten nur für sphärische Flächen, also wirklich kugelförmige und nicht parabolische, welche die Linsenfehler ausgleichen würden (also: für kugelförmige: Brechungsgesetz, sonst evtl. Hauptebenen !).